- 本條目中,向量與純量分別用粗體與斜體顯示。例如,位置向量通常用
表示;而其大小則用
來表示。
德拜-沃勒因子(Debye–Waller factor,DWF),得名於彼得·德拜和伊瓦爾·沃勒,在凝聚體物理學中描述的是X射線繞射中由熱運動引起的衰減[1][2];又被稱作B因子或者溫度因子。蘭姆-梅斯堡因子是德拜-沃勒因子在相干中子散射實驗和梅斯堡譜學中的一個推廣。
在散射實驗中,對於散射矢量
,
給出的是彈性散射的比例;
則是非彈性散射的比例。(嚴格來講,這種機率詮釋不是非常準確[3]。)布拉格繞射實驗中,彈性散射是出現布拉格峰的原因;而非彈性散射產生的是寬廣的背景雜訊,除非分析對象是散射粒子的能量(例如非彈性中子散射或是電子能量損失譜),否則均被視為干擾。因此在一般的繞射實驗中,只有彈性散射是有效資訊。這也使得德拜-沃勒因子的計算在繞射實驗中具有重要的意義。
背景
在勞厄完成X射線繞射實驗之前,學術界曾經對此實驗的可行性進行過討論。其中一種觀點認為,在室溫條件下,晶格中的原子由於熱運動,是無法維持其在晶格中週期性排列的位置的,因此在實際的實驗中不應該觀測到任何的繞射峰(即布拉格峰)。[4]
然而,隨後勞厄和布拉格等人的X射線繞射實驗證實了布拉格峰的存在。實驗中,當晶體的溫度上升時,布拉格峰的強度下降,但其寬度不變。[4] 以下是德拜的描述:
「
|
我將其總結為,干涉條紋的銳度不受影響,但是他們的強度會不但隨著散射角的增加而下降,而且會隨著溫度的升高而下降。[4]
|
」
|
最初的理論
對此實驗現象,德拜給出了最初的理論解釋。給結構因子
中表示原子位置的項
加上關於時間的微擾項
,得到修正後的原子位置為
。假設每個原子都相對各自的平衡位置獨立地振動[注 1],則對修正後結構因子中的
一項變為:
![{\displaystyle f_{j}\exp(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {R} _{j})\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e22f7c1d2f587deb2af5744ab3963db61b956e)
修正項
即為德拜-沃勒因子的最初來源。
定義
德拜-沃勒因子的基本表達式為:
![{\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b36c49a551c7bcb59b8630230c211f8cb4dfbe52)
其中的
為熱振動引起的位移,
表示熱力學平均。
可被展開為
![{\displaystyle 1-i\left\langle \mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right\rangle -{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4f004195f74e043d4b3627558e0bc95666eece)
假設
在空間上具有各向同性,即
,則
![{\displaystyle \left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle =1-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle +...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7b1c38b848f4939e48636bf272ec55208e36599)
注意到上式的前兩項與
展開式的前兩項是一致的。因此可用
代換
,代入開頭的基本表達式:
![{\displaystyle {\text{DWF}}=\left\langle \exp \left(-i\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} \right)\right\rangle ^{2}=(\exp(-{\frac {1}{2}}\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle ))^{2}=\exp(-\left\langle (\mathbf {q} \cdot \mathbf {u} )^{2}\right\rangle )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1df69b023f11041e345b6e38cd7707548292ac4)
即
上式即為德拜-沃勒因子在教科書中常見的定義[5][6][注 2]。值得注意的是上述推導都是在古典物理學的框架之下完成的;而在量子力學中,相同的結論依然成立。
進一步的推導[4]可得
![{\displaystyle {\text{DWF}}=\exp \left(-q^{2}\langle u^{2}\rangle /3\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf979104664c8fd6b8ab785fb35bac9422e22a2)
其中
,
為向量
,
的大小。
叫做均方位移。若入射波的波長為
,且被彈性散射了
角度,可用下式計算出
的大小:
![{\displaystyle q={\frac {4\pi \sin(\theta )}{\lambda }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5ae4bb46b94db163b769ae553199046193a1cf)
B因子
在對蛋白質結構的研究中,「B因子(B-factor)」這個名稱更為常用,其定義為
![{\displaystyle B=8\pi ^{2}\langle u^{2}\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/175d3fd07f58d0af575228587c9b8f0eb2566340)
單位為 Å2。B因子可被看作是結構中不同部分的相對振動。低B因子的原子從屬於結構中良好有序(well ordered)的部分,而高B因子的原子一般屬於結構中非常柔性易變(flexible)的部分。蛋白質資料庫中的每一ATOM記錄(PDB文件格式)都會包含某特定原子的B因子資訊[7]。
參見
注釋
- ^ 這是愛因斯坦模型的假設,不適用於低溫的情況,但對於高溫時的預測較為準確。
- ^ 教科書上的推導均涉及量子力學,與上式僅僅是結論一致。
參考資料
- ^ Debye, Peter. Interferenz von Röntgenstrahlen und Wärmebewegung. Annalen der Physik. 1913, 348 (1): 49–92. Bibcode:1913AnP...348...49D. doi:10.1002/andp.19133480105 (德語).
- ^ Waller, Ivar. Zur Frage der Einwirkung der Wärmebewegung auf die Interferenz von Röntgenstrahlen. Zeitschrift für Physik A (Berlin / Heidelberg: Springer). 1923, 17: 398–408. Bibcode:1923ZPhy...17..398W. doi:10.1007/BF01328696 (德語).
- ^ Lipkin, Harry. Physics of Debye-Waller Factors. 2004. arXiv:cond-mat/0405023v1
.
- ^ 4.0 4.1 4.2 4.3 Kittel, C. Introduction to Solid State Physics 8th. John Wiley & Sons. 2005: 641-642. ISBN 0-471-41526-X.
- ^ Grosso, Giuseppe; Parravicini, Giuseppe Pastori. Solid State Physics 2nd. Elsevier. 2014: 469. ISBN 978-0-12-385030-0.
- ^ Ashcroft, Neil; Mermin, N. Solid State Physics. Brooks Cole. 1976: 793. ISBN 978-0030839931.
- ^ What is a B-factor?. CMBI. [2017-07-06]. (原始內容存檔於2017-07-13) (英語).