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已知最大質數

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電子電腦發明後已知最大質數數位的按年圖表，至2016年為止。垂直刻度為對數尺度，紅線為曲線擬合：y = exp(0.187394 t − 360.527)，t為年份

已知最大質數（截至2024年10月 (2024-10)）為2136,279,841 − 1，十進制時有41,024,320位數，由網際網路梅森質數大搜索（GIMPS）的志願者盧克 · 杜蘭特（Luke Durant）於2024年發現。[1]

質數，又名素數，是一個除1與自身之外沒有其他因數的正整數。歐幾里得定理說明質數沒有上限，不少數學家與嗜好者故一直尋找大質數。

不少大質數為梅森質數，定義為2的冪減去1的正整數。截至2024年10月 (2024-10)，首七個已知大質數皆為梅森質數[2]。近十八次最大質數紀錄皆為梅森質數[3][4]。所有梅森質數的二進制表示中，所有數字皆為1[5]。

盧卡斯-萊默檢定法的快速傅立葉轉換比起其他方式能更快速尋找到梅森質數。

現時紀錄

截至2024年，已知最大質數為2136,279,841 − 1，共有41,024,320位數，由網際網路梅森質數大搜索於2024年10月12日發現[1]。其數值為：

881694327503833265553939100378117358971207354509066041067156376412422630694756841441725990347723283108837509739959776874 ...

(省略41,024,080位)

... 852806517931459412567957568284228288124096109707961148305849349766085764170715060409404509622104665555076706219486871551

上面只顯示首尾各120位數。[6]

獎金

網際網路梅森質數大搜索現為下載其軟體並成功尋找新梅森質數的參與者提供3,000美元獎金，該梅森質數的數位應少於一億位。

電子前哨基金會亦為大質數的找尋設立了數個獎項[7]，網際網路梅森質數大搜索亦有協調一億數位以上的質數搜索，並與成功尋找者分享電子前哨基金會所提供的150,000元美金獎金。

1999年發現首個超過一百萬數位的質數，並取得50,000美元獎金[8]。2008年發現了超過一千萬數位的質數，並取得100,000美元獎金[7]。時代雜誌稱之為2008年第29名最佳發現[9]兩項獎金皆為網際網路梅森質數大搜索的參加者。電子前哨基金會現為首個一億及十億數位的質數提供獎金[7]。

已知最大質數歷史

下表列出已知最大質數沿革，並按時序排列[3]。此處Mn = 2n − 1，為2的n次方。時間最長的紀錄保持者為M19 = 524,287，為已知最大質數共計144年。1456年之前未存有關最大質數的紀錄。

數字 數字展開
（僅限小於M5000的數字） 		數位 發現年份 發現者
M13 8,191 4 1456 佚名
M17 131,071 6 1588 伯多祿·卡塔迪
M19 524,287 6 1588 伯多祿·卡塔迪
6,700,417 7 1732 萊昂哈德·歐拉
歐拉並未正式發表此數，但他於232 + 1的因式分解中已完成此質數的大部分證明過程，故部分專家認為歐拉知道此為質數[10]
M31 2147483647 10 1772 萊昂哈德·歐拉
67,280,421,310,721 14 1855 湯馬斯·克勞森（英語：Thomas Clausen (mathematician)）
M127 170,141,183,460,469,231,731,687,303,715,884,105,727 39 1876 愛德華·盧卡斯
20,988,936,657,440,586,486,151,264,256,610,222,593,863,921 44 1951 Aimé Ferrier
使用機械計算機發現，非使用電腦發現的最大質數
180×(M127)2+1 5210644015679228794060694325390955853335898483908056458352183851018372555735221 79 1951 J. C. P.米勒（英語：J. C. P. Miller）與大衛·惠勒（英語：David Wheeler (computer scientist)）[11]
使用劍橋大學（英語：University of Cambridge Mathematical Laboratory）的EDSAC電腦
M521 6864797660130609714981900799081393217269435300143305409394463459185543183397656052122559640661454554977296311391480858037121987999716643812574028291115057151 157 1952
M607 531137992816767098689588206552468627329593117727031923199444138200403559860852242739162502265229285668889329486246501015346579337652707239409519978766587351943831270835393219031728127 183 1952
M1279 104079321946...703168729087 386 1952
M2203 147597991521...686697771007 664 1952
M2281 446087557183...418132836351 687 1952
M3217 259117086013...362909315071 969 1957
M4423 285542542228...902608580607 1,332 1961
M9689 478220278805...826225754111 2,917 1963
M9941 346088282490...883789463551 2,993 1963
M11213 281411201369...087696392191 3,376 1963
M19937 431542479738...030968041471 6,002 1971
M21701 448679166119...353511882751 6,533 1978
M23209 402874115778...523779264511 6,987 1979
M44497 854509824303...961011228671 13,395 1979 854509824303...961011228671
M86243 536927995502...709433438207 25,962 1982 536927995502...709433438207
M132049 512740276269...455730061311 39,751 1983
M216091 746093103064...103815528447 65,050 1985
391581×2216193−1 148140632376...836387377151 65,087 1989 群組發現，包括約翰·布朗、藍登·克特·諾爾（英語：Landon Curt Noll）、B. K. 柏拉狄、哲恩·史密夫、喬爾·史密夫、沙治奧[12][13]，為已知最大質數歷史中最大的非梅森質數。
M756839 174135906820...328544677887 227,832 1992
M859433 129498125604...243500142591 258,716 1994
M1257787 412245773621...976089366527 378,632 1996
M1398269 814717564412...868451315711 420,921 1996 網際網路梅森質數大搜索，喬爾·阿孟較得
M2976221 623340076248...743729201151 895,932 1997 網際網路梅森質數大搜索，戈登·斯彭斯
M3021377 127411683030...973024694271 909,526 1998 網際網路梅森質數大搜索，羅蘭·克拉克森
M6972593 437075744127...142924193791 2,098,960 1999 網際網路梅森質數大搜索，拿恩·哈拉華拉
M13466917 924947738006...470256259071 4,053,946 2001 網際網路梅森質數大搜索，米高·卡梅倫
M20996011 125976895450...762855682047 6,320,430 2003 網際網路梅森質數大搜索，米高·沙夫
M24036583 299410429404...882733969407 7,235,733 2004 網際網路梅森質數大搜索，喬許·芬德利
M25964951 122164630061...280577077247 7,816,230 2005 網際網路梅森質數大搜索，馬田·諾或
M30402457 315416475618...411652943871 9,152,052 2005 網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩
M32582657 124575026015...154053967871 9,808,358 2006 網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀與史提夫·布恩
M43112609 316470269330...166697152511 12,978,189 2008 網際網路梅森質數大搜索，埃德森·史密夫
M57885161 581887266232...071724285951 17,425,170 2013 網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀
M74207281 300376418084...391086436351 22,338,618 2016 網際網路梅森質數大搜索，柯蒂斯·庫珀
M77232917 467333183359...069762179071 23,249,425 2017 網際網路梅森質數大搜索，強納森·佩斯
M82589933 148894445742...325217902591 24,862,048 2018 網際網路梅森質數大搜索，派翠克·拉羅次
M136279841 881694327503...219486871551 41,024,320 2024 網際網路梅森質數大搜索，盧克·杜蘭特

網際網路梅森質數大搜索發現了近十五個最大質數紀錄。

二十大已知質數

克里斯·科德韋爾設有一列表，內共有已知最大的五千個質數[14][15]，其中最大二十個列於下表。

排名 數字 發現日期 數位 種類 參考資料
1 2136279841 − 1 2024-10-12 41,024,320 梅森質數 [1]
2 282589933 − 1 2018-12-07 24,862,048 梅森質數 [16]
3 277232917 − 1 2017-12-26 23,249,425 梅森質數 [17]
4 274207281 − 1 2016-01-07 22,338,618 梅森質數 [18]
5 257885161 − 1 2013-01-25 17,425,170 梅森質數 [19]
6 243112609 − 1 2008-08-23 12,978,189 梅森質數 [20]
7 242643801 − 1 2009-06-04 12,837,064 梅森質數 [21]
8 Φ3(−5166931048576)
（5166932097152−5166931048576+1） 		2023-10-02 11,981,518 廣義唯一質數 [22]
9 Φ3(−4658591048576)
（4658592097152−4658591048576+1） 		2023-05-31 11,887,192 廣義唯一質數 [23]
10 237156667 − 1 2008-09-06 11,185,272 梅森質數 [20]
11 232582657 − 1 2006-09-04 9,808,358 梅森質數 [24]
12 10223 × 231172165 + 1 2016-10-31 9,383,761 普羅斯數 [25]
13 230402457 − 1 2005-12-15 9,152,052 梅森質數 [26]
14 4 × 511786358 + 1 2024-10-01 8,238,312 廣義普洛斯數 [27]
15 225964951 − 1 2005-02-18 7,816,230 梅森質數 [28]
16 69 × 224612729 − 1 2024-08-13 7,409,102 [29]
17 224036583 − 1 2004-05-15 7,235,733 梅森質數 [30]
18 107347 × 223427517 − 1 2024-08-04 7,052,391 [31]
19 3 × 222103376 − 1 2024-09-30 6,653,780 塔別脫數 [32]
20 19637361048576 + 1 2022-09-24 6,598,776 廣義費馬數 [33]

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 2136,279,841-1. Mersenne Research, Inc. 21 October 2024 [21 October 2024]. 
  2. ^ Caldwell, Chris. The largest known primes - Database Search Output. Prime Pages. [2018-06-03]. （原始內容存檔於2021-03-12）. 
  3. ^ 3.0 3.1 Caldwell, Chris. The Largest Known Prime by Year: A Brief History. Prime Pages. [2016-01-20]. （原始內容存檔於2013-08-19）. 
  4. ^ 最後一個非梅森質數為391,581 ⋅ 2216,193 − 1 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）；參見The Largest Known Prime by Year: A Brief History （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），Caldwell著
  5. ^ Perfect Numbers. Penn State University. [2019-10-06]. （原始內容存檔於2020-08-03）. An interesting side note is about the binary representations of those numbers... 
  6. ^ List of known Mersenne prime numbers - PrimeNet. www.mersenne.org. "41024320" link is to a zip file with the digits. [2024-10-21]. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Record 12-Million-Digit Prime Number Nets $100,000 Prize. Electronic Frontier Foundation. 電子前哨基金會. 2009-10-14 [2011-11-26]. （原始內容存檔於2011-08-05）. 
  8. ^ Electronic Frontier Foundation, Big Prime Nets Big Prize （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
  9. ^ Best Inventions of 2008 - 29. The 46th Mersenne Prime. Time (時代公司). 2008-10-29 [2012-01-17]. （原始內容存檔於2013-08-22）. 
  10. ^ C. Edward Sandifer. How Euler Did Even More. 2007-08-30: 43 [2020-07-30]. ISBN 0883855844. （原始內容存檔於2020-08-04）. 
  11. ^ J. Miller（英語：J. C. P. Miller）, Large Prime Numbers. Nature 168, 838 (1951).
  12. ^ Letters to the Editor （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）. The American Mathematical Monthly 97, no. 3 (1990), p. 214. Accessed May 22, 2020.
  13. ^ Proof-code: Z （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, The Prime Pages（英語：Prime Pages）.
  14. ^ The Prime Database: The List of Largest Known Primes Home Page. primes.utm.edu/primes. Chris K. Caldwell. [2017-09-30]. （原始內容存檔於2021-02-27）. 
  15. ^ The Top Twenty: Largest Known Primes. Chris K. Caldwell. [2018-01-03]. （原始內容存檔於2021-02-25）. 
  16. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282,589,933-1. Mersenne Research, Inc. 21 December 2018 [21 December 2018]. 
  17. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 277,232,917-1. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. [2018-01-03]. （原始內容存檔於2018-01-03）. 
  18. ^ GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 274,207,281-1. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. [2017-09-29]. （原始內容存檔於2018-01-07）. 
  19. ^ GIMPS Discovers 48th Mersenne Prime, 257,885,161-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2013-02-05 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-01-26）. 
  20. ^ 20.0 20.1 GIMPS Discovers 45th and 46th Mersenne Primes, 243,112,609-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2008-09-15 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2011-06-03）. 
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  26. ^ GIMPS Discovers 43rd Mersenne Prime, 230,402,457-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2005-12-24 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-03-14）. 
  27. ^ 4 × 511786358 + 1. t5k.org. PrimePages. 1 October 2024 [5 October 2024]. 
  28. ^ GIMPS Discovers 42nd Mersenne Prime, 225,964,951-1 is now the Largest Known Prime.. mersenne.org. 網際網路梅森質數大搜索. 2005-02-27 [2017-09-29]. （原始內容存檔於2021-03-14）. 
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外部連結

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