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對稱雙線性形式

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對稱雙線性形式是在向量空間上的對稱雙線性形式。它們在正交極性和二次曲面的研究中非常重要。

定義

V 在域 K 上的 n 維向量空間。映射 是這個空間上的對稱雙線性形式,如果:

最後兩個公理只蘊涵在第一個參數中的線性,但是第一個公理直接蘊涵了在第二個參數中的線性。

矩陣表示

V 的基。定義 矩陣 A 通過 。矩陣 A 是對稱的完全由於雙線性形式的對稱性。如果 矩陣 x 表示關於這個基的一個向量 v,類似的 y 表示 w,則 給出為:

假設 C' V 的另一個基,有著可逆的 矩陣 S 使得: 。現在對稱雙線性形式的新矩陣表示給出為

正交性和奇異性

對稱雙線性形式總是自反的。定義兩個向量 vw 是關於雙線性形式 B 是正交的,如果 ,由於自反性它等價於

雙線性形式 B是正交於 V 中所有其他向量的向量的集合。你可以輕易查出它是 V 的子空間。在使用關於特定基的矩陣表示 A 的時候,由 x 表示的 v 在根中,若且唯若

矩陣 A 是奇異的,若且唯若根是不平凡的。

如果 WV 的子空間,則正交於 W 中所有向量的集合 也是子空間。當 B 的根是平凡的時候, 的維度是 n − dim(W)。

正交基

關於 B 是正交的,若且唯若:

在域的特徵不是2的時候,總存在正交基。這可以通過歸納法證明。

C 是正交的,若且唯若矩陣表示 A對角矩陣

西爾維斯特慣性定理與慣性指數

一般情況下,西爾維斯特發現的慣性定理聲稱,在K有序域的時候,簡化後的二次型的矩陣表示中的對角元素等於 0、正或負的數目獨立於正交基的選擇。後兩個數被稱為雙線性形式的正、負慣性指數[1]

實數情況

當工作於在實數上的空間的時候,可以走的遠一點。 設 是正交基。

我們定義一個新基

現在,新矩陣表示 A 將是在對角線上只有 0,1 和 -1 的對角矩陣。零將出現若且唯若根是非平凡的。

複數情況

當工作於在複數之上的空間中的時候,可以相當容易的走的更遠一點。 設 是正交基。

我們定義新的基  :

現在新矩陣表示 A 將是在對角線上只有 0 和 1 的對角矩陣。零將出現若且唯若根是非平凡的。

正交極性

B 是雙線性形式,它帶有不同於 2 的特徵的域 K 上的空間 V 上的根。現在可以定義從 V 的所有子空間的集合 D(V) 到自身的映射:

這個映射是在投影空間 PG(W) 上的正交極性。反過來說,你可以證明所有正交極性可以用這種方式引出,並且帶有平凡根的兩個對稱雙線性形式引發同樣的極化,若且唯若它們差一個純量乘法。


參考文獻