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對極幾何

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對極幾何的典型應用
兩個相機從不同的角度拍攝同一場景的照片。極線幾何述了兩個結果視圖之間的關係。

對極幾何立體視覺中的一種幾何關係。當兩個攝像機從兩個不同的位置觀察3D場景時,3D點及其在2D圖像上的投影之間存在許多幾何關係,從而導致圖像點之間的約束。這些關係是基於針孔相機模型的假設推導出來的。

定義

圖中描繪了兩個針孔相機觀察興趣點X的場景。OLOR代表兩個相機鏡頭的對稱中心。 X代表兩個相機中的興趣點。點xLxR是點X在圖像平面上的投影。在真實的相機中,圖像平面實際上位於焦點中心的後面,並產生一個關於鏡頭焦點中心對稱的圖像。而在這裡,通過將成像平面放置在焦點中心(或光學中心)的前面來等價地簡化問題(圖像不通過對稱性變換)。

對極幾何

每個攝像頭從3D世界捕捉2D圖像。這種從3D到2D的轉換稱為透視投影,並由針孔相機模型描述。通常通過從相機發出並穿過其焦點中心的光線來模擬這種投影操作。每條光線對應於圖像中的一個點。

對極點

由於相機鏡頭的光學中心是不同的,因此每個相機中心都投影到另一個相機圖像平面的不同點上。這兩個圖像點用eLeR表示,稱為對極點。兩個對極點eLeR在兩個相機各自的像平面中,並且落在兩個光學中心OLOR的連線上。

對極線

OLXL被因為與左相機中心重合而被左相機視為一個點。但右相機將這條線視為其圖像平面中的一條線。右攝像機中的那條線(eRxR)就稱為對極線。對稱地,右相機視線ORX為一個點,而被左相機視為對極線(eLxL)。

對極線是3D空間中點X的位置的函數,其隨著X的變化,在兩個圖像中都會生成一組對極線。由於線OLX通過透鏡OL的光學中心,因此右圖中相應的對極線必須通過eR(並且對應於左圖中的極線)。一幅圖像中的所有對極線都包含該圖像的對極點。

對極平面

興趣點X與兩相機中心OLOR三點形成的平面稱為對極平面。對極平面與每個相機的圖像平面相交形成線即為對極線。無論X位於何處,所有對極平面和對極線都與對極點相交。

對極線約束和三角測量

當兩個相機的相對位置已知,則可以導出兩個重要的觀察推論:

  • 假設投影點xL已知,並且對極線eRxR已知,並且點X投影到右側圖像上的點xR上,該點則位於該特定對極線上。因此對於在一個圖像中觀察到的每個點,必須在另一個圖像中的已知對極線上觀察到相同的點。這導出了一個對極線約束X在右相機平面xR上的投影必須包含在對極線eRxR中。所有的點X(OLXL線上的X1X2X 3、... ) 都驗證該約束。這意味著可以測試兩成像平面上的兩個點是否匹配同一個3D點。對極線約束也可以用兩個相機之間的基礎矩陣本質矩陣英語Essential matrix來描述。
  • 如果點xLxR已知,則它們的投影線也已知。如果兩個圖像點對應於同一個3D點X ,則投影線必須在X處精確相交。這意味著X可以從兩個圖像點的坐標中計算出來,這個過程稱為三角化英語Triangulation (computer vision)

簡化案例

如果兩個相機圖像平面重合,則對極線幾何形狀可以被簡化。在這種情況下,對極線也重合(eLXL=eRXR)。此外,對極線平行於投影中心之間的OLOR線,並且可以與兩個圖像的水平軸對齊。因此對於圖像中的每個點,它在另一個圖像中的對應點可以僅沿著水平線來找到。如果無法以這種方式擺放相機,則可以轉換來自攝像機的圖像坐標來模擬具有公共圖像平面的情況。這個過程稱為圖像校正英語Image rectification

推掃式傳感器的對極幾何

與使用二維傳感器的傳統相機相比,推掃式掃描儀英語Push broom scanner採用一維傳感器陣列來產生長的連續圖像條。該傳感器的對極幾何與針孔投影相機的對極幾何不同。推掃式傳感器的對極線是雙曲線,而非直線。其次,對極線「曲線」對不存在。 [1]然而,在某些特殊條件下,衛星圖像的對極幾何可以被認為是一個線性模型。 [2]

相關條目

引用

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