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對偶系統

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數學中,上的對偶系統對偶對是指三元組,包含上的2個向量空間XY,以及非退化雙線性映射

對偶理論是對對偶系統的研究,在泛函分析中占有重要地位,並通過希爾伯特空間廣泛應用於量子力學中。

定義、記號與慣例

配對

上的配對(pairing或pair)是一個三元組,也可以用表示, 包含上的兩個向量空間XY雙線性映射,稱作與配對關聯的雙線性映射[1],或配對的映射,或其雙線性形式。簡單起見,本文只涉及實數複數的例子。

,定義 ,定義 Y上的線性泛函X上的線性泛函。令 其中每個集合構成一個線性泛函的向量空間。

通常記而非,這樣配對不必寫成,而可以寫成。不過,本文將用表示求值映射(定義見下),以避免混淆。

對偶對

雙線性形式b是非退化的,則稱配對上的對偶系統對偶對[2] ,滿足下面兩條分離公理:

  1. Y分離(區分)X的點:若使得,則;等價地,對所有非零的,映射不等同於(即使得);
  2. X分離(區分)Y的點:若使得,則;等價地,對所有非零的,映射不等同於(即使得)。

這樣b是非退化的,可以說bXY置於(分離)對偶中(places in (separated) duality),b是三元組的對偶配對(duality pairing)。[1][2]

全子集

, 能推出,則稱為全集。 X的全子集定義相似(見腳註)。[note 1]因此,若且唯若XX的全子集,X分離Y中所有點,對Y亦然。

正交性

,稱向量xy正交,記作。若,稱兩子集正交,記作;即。子集正交於向量的定義與之類似。

子集正交補零化子. 於是,若且唯若RX的全子集。

極集

給定在上定義了對偶對的三元組,子集絕對極集極集是集合對稱地,子集的絕對極集或極集記作,定義為


為了使用有助於跟蹤對偶性兩側不對稱的標記,子集的絕對極也可以稱為B絕對預極(absolute prepolar)或預極(prepolar),可表為[3]

必然是凸集,包含,若B平衡,則也平衡;若BX的向量子空間,則Y的向量子空間。[4]

AX的向量子空間,則,還等於A的實極。若,則A雙極(bipolar,記作)是A正交補的極,即集。相似地,若,則B的雙極是

對偶的定義與結果

給定對,定義新對,其中[1] 對偶理論有個一貫的主題:任何對都有相應的對偶對

約定與定義:給定配對的任何定義,將其應用於配對,就能得到對偶定義。這約定也適用於定理。

例如,若X分離Y的點(或者說SY的全子集)定義如上,則此約定立即產生了對偶定義:Y分離X的點(或者說SX的全子集)。 下面的寫法幾乎無處不在,可讓我們不用為d指定符號。

約定與記號:若配對的定義及其記號取決於XY的順序(例如,X上的麥奇拓撲),那麼交換XY順序就意味著定義適用於(接上例,拓撲實際上是拓撲)。

再比如,一旦定義了X上的弱拓撲,則此對偶定義就會自動應用到配對,從而得到Y上弱拓撲的定義——而非

的識別

雖然從技術上將這是不正確的,也是對符號的濫用,但本文將遵守幾乎普遍的管理,及將配對互換處理,並用表示

例子

配對的限制

是配對,MX的向量子空間,NY的向量子空間。則,的限制就是配對。若是對偶,則限制就有可能不對偶(如,若)。

本文將使用通常做法,用表示限制

向量空間上的規範對偶

X是向量空間,令表示X代數對偶空間(即,X上所有線性泛函的空間)。則有規範對偶,其中,稱之為上的求值映射自然/規範雙線性泛函。

注意只是表示的另一種方式,即

N的一個向量子空間,則的限制稱作規範配對。若此配對是對偶,則稱為規範對偶。顯然X總是分離N的點,因此若且唯若N分離X中的點,規範配對是對偶系統。 下列記號現在在對偶理論中幾乎無處不在。

求值映射記作(而非c),將改為

假設:按慣例,若X是向量空間,NX上線性泛函的向量空間,則除非另有說明,否則將假定它們同規範配對相關聯。

N的向量子空間,則若且唯若N分離X的點(或等價地,N是全的,能推出),X分離N的點(或等價地,是對偶),[1]

拓撲向量空間上的規範對偶

X拓撲向量空間,有連續對偶空間。 則,規範對偶的限制確定了配對,其中X分離的點。 若分離X的點(例如,若X是豪斯多夫局部凸空間,則恆為真),則此配對形成了對偶。[2]

假設:正如通常所作,只要X是拓撲向量空間,則除非另有說明,否則將假定其與規範配對相關聯,無需注釋。

拓撲向量空間的極與對偶

下列結果表明,拓撲向量空間上的連續線性泛函恰是在原點鄰域上有界的線性泛函。

定理[1] — X是拓撲向量空間,有代數對偶 ,並令X在原點鄰域的基。 在規範對偶下,X是連續對偶空間是所有的並,因為N的範圍是(其中極位於)。

內積空間與復共軛空間

預希爾伯特空間,若且唯若H上的向量空間,或H是0維,是對偶對。這裡假定半雙線性形式在第二坐標上是共軛齊次的,在第一坐標上是齊次的。

  1. 是實希爾伯特空間,則形成對偶系統。
  2. 是復希爾伯特空間,則若且唯若形成對偶系統。若H非平凡,則甚至不是配對,因為內積是半雙線性的,而非雙線性的。[1]

是復預希爾伯特空間,純量乘法用並列或表示。 定義映射 其中右式使用了H的純量乘法。令表示H復共軛向量空間,其中表示加群(所以中的向量加法與H中的相同),但中的純量乘法是映射(而非H被賦予的純量乘法)。

映射定義為,在兩個坐標中都是線性的[note 2],因此形成對偶對。

其他例子

  1. 是配對,使X區分Y的點,但Y不區分X的點。此外,
  2. (其中q滿足),是對偶系統。
  3. XY是同一域上的向量空間,則雙線性形式使對偶。[2]
  4. 序列空間X及其Beta-對偶空間,雙線性映射定義為形成對偶系統。

弱拓撲

上一對向量空間。若,則X上由S(和b)誘導的弱拓撲X上最弱的拓撲向量空間拓撲,記作,使yS上取值時所有映射連續。[1]S在語境中不明確,則應假定是Y的全部,這時稱之為X上(由Y誘導的)的弱拓撲。 或(若無混淆)用於表示賦有弱拓撲X。 重要的是,弱拓撲完全取決於函數b上的通常拓撲與X上的向量空間結構,而與Y的代數結構無關。 同樣,若,則Y上由R(和b)誘導的弱拓撲的對偶定義記作(細節見腳註)。[note 3]

定義與符號:若附在一個拓撲定義上(如-收斂、-有界、等等),則就意味著當定義的第一個空間(即X)攜帶拓撲。若無混淆,可以不提及b甚至XY。例如,若Y中序列-收斂」或「弱收斂」,這意味著它收斂於,而若它是X中的序列,則意味著它收斂於)。

拓撲局部凸的,因為它由定義的半範數族確定,其中yY上取值。[1]X中的,則若中收斂到x-收斂x[1],若且唯若收斂到-收斂到x

是希爾伯特空間中的正交規範向量列,則弱收斂到0,但不會規範收斂(norm-convergence)到0(或任意向量)。[1]

是配對,NY的一個適當的向量子空間,使得是對偶對,則嚴格[1]

有界子集

子集,若且唯若,其中,稱S-有界。

豪斯多夫性

是配對,則下列條件等價:

  1. X分離Y的點;
  2. 映射定義了YX的代數對偶空間的單射[1]
  3. 豪斯多夫空間[1]

弱表示定理

下列定理對對偶理論至關重要,因為它完全表徵了的連續對偶空間。

弱表示定理[1] — 是域上的配對,則連續對偶空間另外,

  1. f上的連續線性泛函,則使;若這樣的y存在,則若且唯若X分離Y的點時,這樣的y是唯一的。
  • 注意,X是否分離Y中的點並不取決於y的特定選擇。
  1. 的連續對偶空間可以視作商空間,其中
  • 無論X是否分離Y的點,或Y是否分離X中的點,這都是正確的。

因此,的連續對偶空間是

關於規範配對,若X是拓撲向量空間,其連續對偶空間分離X的點(即使豪斯多夫,這可推出X也必豪斯多夫),則的連續對偶空間等於xX中取值時所有「點x處得值」的映射集合(即將送到的映射)。 通常寫成 這一重要事實就是為什麼連續對偶空間上極拓撲的成果(如上的強對偶拓撲)能應用到原拓撲向量空間X的。例如,將X視作意味著上的拓撲可被視作X上的拓撲。 此外,若被賦予比更細的拓撲,那麼的連續對偶空間必然包含(作為子集)。 例如,被賦予強對偶拓撲(於是記作),則

這允許X被賦予由強對偶拓撲X上誘導的子空間拓撲(此拓撲也稱作強雙對偶拓撲,見於自反空間理論:豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X,若則稱其是半自反空間,若在此之外,其在X上的強雙對偶拓撲還等於X的原/初拓撲,則稱其是自反空間

正交、商與子空間

是配對,則對X的任意子集S

  1. ,且此集合是-閉的;[1]
  2. [1]
  • 因此,若SX-閉向量子空間,則
  1. X-閉向量子空間族,則

[1]

  1. X的子集族,則

[1]

X是賦范空間,則根據規範對偶性,中對范是封閉的,X中對范是封閉的。[1]

子空間

MX的向量子空間,並令表示的限制。 M上的弱拓撲M繼承的子空間拓撲相同。

另外,是配對空間(paired space)(其中),其中定義為

拓撲等於M繼承自子空間拓撲[5] 此外,若是對偶系統,則也是。[5]

MX的向量子空間,則是配對空間,其中定義為

拓撲等同於上誘導的一般的商拓撲[5]

極與弱拓撲

X是局部凸空間,且若H是連續對偶空間的子集,則若且唯若對X中某B,有時,H-有界的。[1]

下列結果對定義極拓撲非常重要。 若是配對,[1]

  1. A的極的閉子集。
  1. 下列集合的極相同:(a) A;(b) A的凸殼;(c) A平衡殼;(d) A-閉合;(e) A凸平衡殼-閉合。
  1. 雙極定理A的雙極等於A的凸平衡殼的-閉合。
  1. 若且唯若吸收Y時,A-有界的。
  2. Y還分離X的點,則若且唯若A-全有界時,A-有界的。

是配對,X上與對偶一致的局部凸拓撲,則若且唯若BY的某-有界子集的時,中的[6]

轉置

線性映射關於配對的轉置

上的配對,並令是線性映射。

是由定義的映射。 若滿足以下條件,就可以說F的轉置或伴隨是良定的(well-defined):

  1. X分離Y中的點(或等價地,從Y抵達代數對偶的映射單射),且
  2. 其中

這樣,存在(由條件2)唯一的(由條件1),使,其中Y的這個元素將表為。這定義了線性映射

稱作F的轉置或關於的伴隨(注意不要與厄米伴隨混淆)。不難看出,上述兩個條件(即「轉置良定義」)也是良定的必要條件。 的定義條件是 即,

根據本文開頭提到的約定,這也定義了形式為[note 4] [note 5] [note 6] [note 7]等的線性映射的轉置(見腳註)。

轉置的性質

上的配對,是線性映射,其轉置是良定義的。

  • 若且唯若F的範圍在中稠密時,單射(即)。[1]
  • 若除了良定義外,的轉置也良定義,則
  • 上的配對,是線性映射,其轉置是良定義的,則的轉置也是良定義的,且
  • 是向量空間同構,則是雙射,的轉置是良定義的,且[1]
  • 表示A絕對極,則[1]
    1. ,則
    2. 使得,則
    3. 是弱閉圓盤,則若且唯若時,
將絕對極換成實極,這些結果不變。

XY是規範對偶下的賦范空間、是連續線性映射,則[1]

弱連續性

線性映射,若連續,則稱其(關於弱連續

下面的結果表明,轉置映射的存在與弱拓撲密切相關。

命題 — X分離Y的點,是線性映射。 則下列條件等價:

  1. F是弱連續的(即連續);
  2. F的轉置是良定義的。

F是弱連續的,則

  • 是弱連續的,即連續;
  • 若且唯若Z分離W的點,轉置良定義,這時

弱拓撲與規範對偶

X是向量空間,是其代數對偶。則X的所有-有界子集包含於有限維向量子空間,X的所有向量子空間是-閉的。[1]

弱完備性

完備拓撲向量空間,例如X-完備或(若無歧義)弱完備的情形。 存在不弱完備的巴拿赫空間(儘管在其范拓撲中是完備的)。[1]

X是向量空間,則在規範對偶下,是完備的。[1] 相反,若Z是豪斯多夫局部凸拓撲向量空間,且有連續對偶空間,則若且唯若時,是完備的;即,若且唯若將發送到z處求值映射(即)的映射是雙射。[1]

特別地,就規範對偶而言,若Y的向量子空間,使Y分離X中的點,則若且唯若是完備的。 換句話說,不存在緊合向量子空間使得是豪斯多夫空間,且Y弱-*拓撲(即逐點收斂的拓撲)中完備。 因此,若豪斯多夫局部凸拓撲向量空間X的連續對偶空間 被賦以弱*-拓撲,若且唯若(即X上所有線性泛函都連續)時,是完備的。

Y與代數對偶的子空間的等同

X分離Y的點、Z表示單射的範圍,則ZX的代數對偶空間的向量子空間,且配對與規範配對(其中是自然求值映射)是規範等同(canonically identify)的。 特別地,這時我們將不失一般性地假設YX代數對偶的向量子空間,而b是求值映射。

約定:通常,只要是單射(尤其當形成對偶對),通常不失一般性地假設YX的代數對偶空間的向量子空間,且b是自然求值映射,Y還可記作

完全類似的是,若Y分離X中的點,則X就有可能等同於Y的代數對偶空間的向量子空間。[2]

代數伴隨

在對偶是規範對偶的特例下,線性映射的轉置總是良定義的。 此轉置稱作F代數伴隨,記作; 即 這樣,[1][7]其中的定義條件是 或等價地

若對整數nX的基,其對偶基是線性算子,F關於的矩陣表示是,則M的轉置是關於的矩陣表示。

弱連續性與開性

是對偶系統的規範配對(所以),並令是線性映射。則若且唯若滿足下列等價條件之一,F是弱連續的:[1]

  1. 連續;
  2. F的轉置相對於是良定義的。

F是弱連續的,則是連續的,於是[7]

拓撲空間之間的映射,若開映射g的範圍),則稱之是相對開的。[1]

是對偶系統,是弱連續線性映射。則下列條件等價:[1]

  1. 是相對開的;
  2. 的範圍在Y-閉;

此外

  • 若且唯若是滿射(或雙射),是單射(或雙射);
  • 若且唯若是相對開單射,是滿射。
拓撲向量空間之間映射的轉置

若且唯若F是弱連續的,兩拓撲向量空間之間映射的轉置才被定義。

是兩豪斯多夫局部凸拓撲向量空間之間的線性映射,則[1]

  • F連續,則其是弱連續的,且是麥基連續的,也是強連續的;
  • F是弱連續的,則其是麥基連續的,也是強連續的(定義見下)。
  • F是弱連續的,則若且唯若等度連續子集映射到的等度連續子集時,F才是連續的。
  • XY是賦范空間,則若且唯若F是弱連續的(這時),F連續。
  • F連續,則若且唯若是弱相對開的(即是相對開的)、且的等度連續子集都是的某等度連續子集的像時,F是相對開的。
  • F是連續單射,則若且唯若的等度連續子集都是的某等度連續子集的像,是拓撲向量空間嵌入(或等價的拓撲嵌入)。

可度量化性與可分性

X局部凸空間,有連續對偶空間,並令[1]

  1. K等度連續-緊的,且使得X中稠密,則K繼承的子空間拓撲等同於K繼承的子空間拓撲。
  2. X可分的K是等度連續的,則K被賦予由誘導的子空間拓撲後是可度量化的。
  3. X是可分、可度量化的,則是可分的。
  4. X是賦范空間,則若且唯若給定由誘導的子空間拓撲,X的連續對偶空間的封閉單元(X的連續對偶空間)可度量時,X是可分的。
  5. X是賦范空間,其連續對偶空間可分(給定通常的范拓撲)時,X可分。

極拓撲與同配對相容的拓撲

從弱拓撲開始,極基的使用會產生一系列局部凸拓撲。這樣的拓撲稱作極拓撲,弱拓撲是其中最弱的。

將是上的配對,將是X-有界子集的非空集合。

極拓撲

給定X子集的集合Y上由(與b)定義的極拓撲(或Y上的-拓撲)是Y上唯一的拓撲向量空間拓撲,其中 形成了原點鄰域的子基[1] Y被賦予這-拓撲時,就表示為。極拓撲都需要是局部凸的。[1] 是關於子集包含的有向集合時(即若使得),則此0處的鄰域子基實際上形成了0處的鄰域基[1]

下面列出了一些較重要的極拓撲。

符號:若表示Y上的極拓撲,則唄賦予此拓撲的Y將記作(如對我們有,這樣都表示賦予了Y)。

(「…上一致收斂的拓撲」)
記作 名稱(「…的拓撲」) 又稱
X的有限子集
(或X有限子集的-閉圓盤化殼

逐點/簡單收斂 弱/弱-*拓撲
-緊圓盤 麥基拓撲
-緊凸子集 緊凸收斂
-緊子集
(或平衡-緊子集)
緊收斂
-有界子集
有界收斂 強拓撲
最強的極拓撲

與極拓撲有關的定義

連續性連續,則線性映射是(關於麥基連續的。[1]

是連續的,則線性映射是(關於)強連續的。[1]

有界子集

X的子集,若在(或)中有界,則稱X弱有界(或麥基有界強有界)。

同配對相容的拓撲

上的配對,X上的向量拓撲,則是配對的拓撲,且若其局部凸、的連續對偶空間,則稱之與配對相容或一致。[note 8]X分離Y的點,則Y可視作X的代數對偶的向量子空間,定義條件變為[1]有人(如[Trèves 2006]、[Schaefer 1999])要求配對的拓撲也要是豪斯多夫的,[2][8]Y分離X的點(這些學者假設),則必須是豪斯多夫的。

弱拓撲同配對相容(如弱表示定理所示),事實上是最弱的拓撲。還有一種與這種配對相容的最強拓撲,即麥基拓撲。 若N是非自反的賦范空間,則其連續對偶空間上通常的范拓撲同對偶不相容。[1]

麥基–阿倫定理

下面是對偶理論中最重要的定理之一。

麥基–阿倫定理 I[1] — 是配對,使X分離Y的點,並令X上的局部凸拓撲(不必豪斯多夫)。 則,若且唯若是由某覆蓋了Y[note 9]-緊圓盤集合確定的極拓撲時,稱與配對相容。

由此可見,麥基拓撲是由Y中所有-緊圓盤生成的極拓撲,是X上與配對 相容的最強局部凸拓撲。 給定拓撲與麥基拓撲相同的局部凸空間稱作麥基空間。 上述麥基-阿倫定理的一下結果也稱作麥基-阿倫定理。

麥基–阿倫定理 II[1] — 是配對,使得X分離Y的點,並且X上的局部凸拓撲。則,若且唯若與配對相容。

麥基定理、桶與閉凸集

X是(上的)拓撲向量空間,則半空間(half-space)是形式為的集合。(r是實數,fX上的連續實值線性泛函)

定理 — X是(上的)局部凸空間、CX的非空閉凸子集,則等於包含它的所有閉半空間的交。[9]

上述定理說明,局部凸空間的閉子集和凸子集完全取決於連續對偶空間。於是,在任何與配對相容的拓撲中,閉子集和凸子集都相同;即,若X上的任意局部凸拓撲,且有同樣的連續對偶空間,則若且唯若X的凸子集在拓撲中封閉,,此子集也在拓撲中封閉。 這說明,X任意凸子集的-閉等同於其-閉,對X中任意-閉圓盤A[1] 特別地,若BX的一個子集,則若且唯若B中的桶時,B也是中的[1]

下面的定理說明,(即閉吸收圓盤)恰是弱有界子集的極。

定理[1] — 是配對,使得X分離Y的點,並令為配對的某拓撲。 則若且唯若X的子集等於Y的某-有界子集的極時,此子集是X中的桶。

X是拓撲向量空間,則[1][10]

  1. X的閉吸收平衡子集B吸收X的所有凸緊子集(即存在正實數r使得包含此集)。
  2. X是豪斯多夫局部凸的,則X中每個桶都吸收X的每個凸有界完備子集。

所有這些都引出了麥基定理,這是對偶系統理論的核心定理之一。簡言之,定理支出,對符合相同對偶性的兩豪斯多夫局部凸拓撲,有界子集是相同的。

麥基定理[10][1] — 是豪斯多夫局部凸空間,有連續對偶空間,並考慮規範對偶。 若X上任意與對偶相容的拓撲,則的有界子集與的有界子集相同。

有限序列空間

X表示純量的所有序列的空間,且對所有足夠大的i都有。 令,定義雙線性映射[1] 此外,若且唯若存在正實數序列,使得、及所有指標i(或還有)時,子集-有界(或-有界)的。[1]

由此可見,X的子集中有弱有界(即-有界)的,但沒有強有界(即無-有界)的。

另見

注釋

  1. ^ 子集,若推出,則稱S為全子集。
  2. ^ b在第一坐標中線性顯然。設c是純量,則,說明b在第二坐標中也線性。
  3. ^ Y上的弱拓撲是Y上使所有映射連續的最弱的拓撲向量空間拓撲(xR上取值)。的對偶定義也可用來表示賦有弱拓撲Y。若R在語境中不明確,則應假定是X的全部,這時稱之為Y上(由X誘導)的弱拓撲。
  4. ^ 是線性映射,則若且唯若Z分離W的點、時,G的轉置是良定的。這時,的定義條件是:
  5. ^ 是線性映射,則若且唯若X分離Y的點、時,H的轉置是良定的。這時,的定義條件是:
  6. ^ 是線性映射,則若且唯若W分離Z的點、時,H的轉置是良定的。這時的定義條件是:
  7. ^ 是線性映射,則若且唯若Y分離X的點、時,H的轉置是良定的。這時,的定義條件是:
  8. ^ 當然,Y上拓撲也有「與配對相容」的類似定義,但本文只討論X上的拓撲。
  9. ^ 集合S與其子集的集合,若S的點都包含於中的某集合,稱覆蓋S

參考文獻

  1. ^ 1.00 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1.32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 Narici & Beckenstein 2011,第225-273頁.
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書目

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外部連結