基本多邊形

在數學上，每個閉曲面在幾何拓撲的意義下，可以由一個偶數條邊的有向多邊形，把它的邊成對地粘合構造出來，這樣的多邊形稱之為基本多邊形（fundamental polygon）。

這個構造可以表示成一個長為2n的字符串，一共n個不同的符號，每個符號出現兩次帶有指數 +1或 -1。指數 -1的符號對應於該邊的定向與基本多邊形的定向相反。

例子

曲面的基本多邊形
球面	實球射影平面	克萊因瓶	環面

上圖中標有相同字母的兩條邊，沿著箭頭方向粘合。

球面： $AA^{-1}$ 或 $ABB^{-1}A^{-1};$
實射影平面： $AA$ 或 $ABAB;$
克萊因瓶： $ABAB^{-1}$ 或 $AABB;$
環面： $ABA^{-1}B^{-1}$ 或 $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}.$

群生成元

對標準對稱形狀，多邊形的邊可以理解為一個群的生成元。然後這個多邊形，寫成群元素形式，成為由這些邊生成的自由群上一個約束，給出有一個約束的群呈示。

因此，例如給定歐幾里得平面 $\mathbb {R} ^{2}$ ，設群元素 $A$ 在這個平面上有作用 $A(x,y)=(x+1,y)$ 而 $B(x,y)=(x,y+1)$ 。則 $A,B$ 生成格 $\Gamma =\mathbb {Z} ^{2}$ ，而環面由商空間給出（一個齊性空間） $T=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}$ 。更一般地，兩個生成元 $A,B$ 可用來生成一個基本平行四邊形的平行四邊形鑲嵌。

對環面，在兩個字母的自由群上的約束由 $ABA^{-1}B^{-1}=1$ 給出。這個約束平凡地包含在如上給出的平面上的作用中。另外，平面可用六邊形鋪滿，六邊形的中心形成一個六邊形格。將六邊形的相對等同，又得到了環面。這一回約束是 $ABCA^{-1}B^{-1}C^{-1}=1$ ，刻劃了六邊形格生成元在平面上的作用。

在實際中，大部分有趣的情形是具有負曲率的曲面，由群 $PSL(2,\mathbb {R} )$ 中一個離散格作用在上半平面實現。這樣的格稱為富克斯群（Fuchsian group）。

標準基本多邊形

虧格n可定向閉曲面有如下標準基本多邊形：

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,

（不可定向）虧格n的不可定向閉曲面有如下標準基本多邊形：

A_{1}A_{1}A_{2}A_{2}\cdots A_{n}A_{n}.\,

或者，不可定向曲面能由兩種形式給出，虧格n 克萊因瓶與虧格n 實射影平面。虧格2n克萊因瓶由一個4n邊形給出

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}=1,\,

（注意最後的 $B_{n}$ 沒有上標 -1；與可定向情形比較，這個翻轉是不可定向性的緣故）。虧格2n+1射影平面由一個4n+2邊形給出

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}C^{2}=1.\,

最後兩類情形窮盡了所有可能的不可定向曲面，這是昂利·龐加萊證明的。

緊黎曼曲面的基本多邊形

一個（雙曲）緊黎曼曲面的基本多邊形有許多重要的性質，將曲面與它的富克斯模型（Fuchsian model）聯繫起來。即一個雙曲緊黎曼曲面可以上半平面做為萬有覆疊，從而可以表示為一個商流形H/Γ，這裡 Γ是一個非阿貝爾群同構於曲面的甲板變換群（deck transformation group）。商空間的陪集有標準多邊形做為代表元素。在下面，注意所有黎曼曲面都是可定向的。

度量基本多邊形

給定上半平面H中一點 $z_{0}$ ，以及PSL(2,R)一個離散子群Γ 自由不連續作用在上半平面，則我們可定義度量基本多邊形（metric fundamental polygon）為點集

F=\{z\in \mathbb {H} :d(z,z_{0})<d(z,gz_{0})\;\;\forall g\in \Gamma \}.\,

這裡d是上半平面的雙曲度量。度量基本多邊形有時也稱為狄里克雷區域（Dirichlet region）或沃羅諾伊多邊形（Voronoi polygon）。

這個基本多邊形是一個基本區（fundamental domain）。
這個基本多邊形是凸集，連接這個多邊形的任何兩點的測地線完全包含在多邊形內部。
F的直徑小於或等於H/Γ的直徑。特別地，F的閉包緊。
如果Γ在H中沒有不動點且H/Γ緊，則F的邊數有限。
多邊形的每條邊是一個測地線。
對多邊形的每條邊s，恰有另外一條邊s' 使得gs=s' 對某個g屬於Γ。從而這個多邊形有偶數條邊。
將邊兩兩連接的群元素集合g是Γ的生成元，沒有更小的集合可生成Γ。
F的閉包在Γ的作用下鋪滿上半平面。即 $H=\cup _{g\in \Gamma }\,g{\overline {F}}$ 這裡 ${\overline {F}}$ 是F的閉包。

標準基本多邊形

給定任何度量基本多邊形F，用有限步可以構造另一個基本多邊形，標準基本多邊形（standard fundamental polygon），它具有額外一組值得注意的性質：

標準多邊形的頂點都是等價的。「頂點」是說兩條邊相交的點。「等價」意味著每個頂點可以由Γ中某個g變到任何其它一個頂點。
邊數可被4整除。
Γ中一個給定元素g至多將多邊形的一條邊變到另一邊。從而這些邊可以成對標記出來。由於Γ的作用保持定向，如果一條邊為 $A$ ，則這一對中另一個可以標記為相反的方向 $A^{-1}$ 。
可以安排標準多邊形的邊，使得相鄰邊取形式 $A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}$ 。這就是說邊對可安排成以這樣的方式相間出現。
標準多邊形是凸集。
邊可以安排成測地線。

上面的構造足夠保證多邊形的每條邊在流形H/Γ中是一個閉（非平凡）環路。就其本身而言，每條邊可以為基本群 $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 中一個元素。特別地，基本群 $\pi _{1}(\mathbb {H} /\Gamma )$ 有2n個生成元素 $A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},\cdots A_{n}B_{n}$ ，由一個約束定義，

A_{1}B_{1}A_{1}^{-1}B_{1}^{-1}A_{2}B_{2}A_{2}^{-1}B_{2}^{-1}\cdots A_{n}B_{n}A_{n}^{-1}B_{n}^{-1}=1.\,

所得流形H/Γ的虧格是n。

例子

度量基本多邊形與標準多邊形通常有不同的邊數。比如，環面的標準基本多邊形是一個基本平行四邊形（fundamental parallelogram）。相比而言，度量基本多邊形有六條邊，是一個六邊形。只需注意到六邊形的邊垂直平分平行四邊形的邊就可以看出來。這就是，取格中一點，然後考慮連接這點與鄰點的直線之集合。每個這樣的線被另一條垂直線平分，被這樣的第二個線集合圍住的最小的空間是一個六邊形。

事實後，上一個構造一般都可行：取一點x，然後對Γ中g，考慮x與gx之間的測地線。平分這些測地線是另一個曲線集合，這些點的軌跡與x和gx距離相等。由第二個線集合圍住的最小區域是度量基本多邊形。

面積

標準基本多邊形的面積是 $4\pi (n-1)$ ，這裡n是黎曼曲面的虧格（等價於4n是多邊形的邊數）。由於標準多邊形是H/Γ的一個代表，黎曼曲面的整個面積等於標準多邊形的面積。這個面積公式由高斯-博內定理得出，在某種意義下黎曼-赫爾維茨公式（Riemann-Hurwitz formula）是其推廣。

標準多邊形的具體形式

對標準多邊形可以給出具體表達式。一個更有用的形式是使用與這個標準多邊形關聯的群 $\Gamma$ 。對一個虧格n定向曲面，群可由2n格生成元 $a_{k}$ 給出。這些生成元由下列分式線性變換作用在上半平面給出。

對 $0\leq k<2n$ ：

a_{k}=\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &-\sin k\alpha \\\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}e^{p}&0\\0&e^{-p}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\cos k\alpha &\sin k\alpha \\-\sin k\alpha &\cos k\alpha \end{matrix}}\right)

參數由

\alpha ={\frac {\pi }{4n}}\left(2n-1\right)

和

\beta ={\frac {\pi }{4n}}

以及

p=\ln {\frac {\cos \beta +{\sqrt {\cos 2\beta }}}{\sin \beta }}

給出。可以驗證這些生成元服從約束

a_{0}a_{1}\cdots a_{2n-1}a_{0}^{-1}a_{1}^{-1}\cdots a_{2n-1}^{-1}=1,\,

這給出整個群呈示。

推廣

在高維，基本多變形的想法體現為齊性空間。

另見

參考文獻

Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups (1983), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90788-2.
Hershel M. Farkas and Irwin Kra, Riemann Surfaces (1980), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90465-4.
Jurgen Jost, Compact Riemann Surfaces (2002), Springer-Verlag, New York. ISBN 3-540-43299-X.

閱論編多邊形
1–10邊	一角形二角形三角形正三角形直角三角形等腰三角形不等邊三角形四邊形正方形矩形菱形鷂形梯形平行四邊形五邊形六邊形七邊形八邊形九邊形十邊形
11–20邊	十一邊形十二邊形十三邊形十四邊形十五邊形十六邊形十七邊形十八邊形十九邊形二十邊形
21–100邊（部分的）	二十一邊形（日語：二十一角形）二十二邊形（日語：二十二角形）二十三邊形（英語：Icositrigon）二十四邊形三十邊形（英語：Triacontagon）四十邊形（西班牙語：Tetracontágono）五十邊形（西班牙語：Pentacontágono）六十邊形（日語：六十角形）七十邊形（日語：七十角形）八十邊形（日語：八十角形）九十邊形（日語：九十角形）一百邊形（西班牙語：Hectágono）
>100邊	二百五十七邊形一千邊形一萬邊形（英語：Myriagon）六萬五千五百三十七邊形十萬邊形（匈牙利語：Százezerszög）一百萬邊形四十二億九千四百九十六萬七千二百九十五邊形無限邊形超無限邊形
複多邊形	複八邊形莫比烏斯-坎特八邊形
其他	空多胞形零角形扭歪無限邊形
星形多邊形	五角星六角星七角星八角星九角星十角星十一角星十二角星無限角星
分類	凸多邊形凹多邊形星形多邊形正多邊形退化多邊形基本多邊形簡單多邊形複雜多邊形扭歪多邊形複多邊形星狀多邊形等邊多邊形等角多邊形平行多邊形圓外切多邊形圓內接多邊形可作圖多邊形雙心多邊形