圖中的兩條虛線相對於它們的端點是同倫的。動畫表示了一種可能的同倫。
同倫(英語:Homotopic[註 1])在數學和拓撲學上描述了兩個對象間的「連續變化」。兩個定義在拓撲空間之間的連續函數,如果其中一個能「連續地形變」為另一個,則這兩個函數稱為同倫的。這樣的形變稱為兩個函數之間的同倫。同倫的一個重要的應用是同倫群和餘倫群的定義,它們是代數拓撲中重要的不變量。
事實上,在特定的空間中應用同倫還有一些技術上的困難。代數拓撲學家一般使用緊生成空間、CW複形或譜。
定義
兩個將環面映射到R3的嵌入之間的同倫:「咖啡杯的表面」與「甜甜圈的表面」。這也是一個同痕的例子。
給定兩個拓撲空間
和
。考慮兩個連續函數
,若存在一個定義在空間 X 與單位區間 [0,1] 的積空間上的連續映射
使得:
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e965e16a75cb013547932b0d37fe357323e3eb4a)
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eca2a312dbd050af4c93000b6db55ed2158223)
則稱
是
之間的一個同倫[1]:183。
如果我們將 H 的第二個參數當作時間,這樣 H 相當於描述了一個從 f 到 g 的連續形變:0 時刻我們得到函數f,1 時刻我們得到函數 g。
我們也可以將第二個參數視作一個可以滑動的「控制條」,當控制條從0滑動至1時,函數 f 平滑地轉變為函數 g,反之亦然。
另一種觀點是:對每個
,函數
定義一條連接
與
的路徑:
![{\displaystyle \gamma _{x}\,:\,[0,1]\rightarrow Y,\,t\mapsto H(x,t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10933c953a20a4add485e31d5622ad201928e017)
右側的循環動畫展示了兩個嵌入R3中的環面之間的同倫。X 是環面,Y 是 R3。f,g 是從環面到
R3的連續函數,當動畫開始時,f 把環面映射為嵌入的甜甜圈的表面。g 把環面映射為嵌入的咖啡杯表面。動畫展示了ht(x)作為時間的函數時的圖像。每一次循環中,時間 t 從 0 變成 1,暫停一會,又從 1 變成 0。
性質
若且唯若存在同倫 H 將 f 轉換為 g時,稱連續函數 f 和 g 是同倫的。同倫是 X 到 Y 上所有的連續函數之間的一種等價關係[1]:184。以下情形中,同倫關係滿足函數的複合:
如果 f1, g1 : X → Y 是同倫的,並且 f2, g2 : Y → Z 是同倫的,則他們的複合 f2 ∘ f1 與 g2 ∘ g1 : X → Z 也是同倫的。
例子
例一:取
,
,
及
。則
與
透過下述函數在
中同倫。
![{\displaystyle H(x,t)=1-2t\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08feae48f48c00fc51e66679fc87a84d3514c83d)
- (注意到此例子不依賴於變數
,通常並非如此。)
- 註:「在
中同倫」的說法提示一個重點:在例一中若將
代為子空間
,則雖然
與
仍取值在
,但此時它們並不同倫。此點可藉中間值定理驗證。
例二:取
,
,
及
。則
描繪一個以原點為圓心的單位圓;
停在原點。
與
透過下述連續函數同倫:
![{\displaystyle H(x,t)=(1-t)e^{2i\pi x}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94756ba711b36e05323c842af2d04d47ba224c55)
- 幾何上來看,對每個值
,函數
描繪一個以原點為圓心,半徑
的圓。
相對同倫
為定義高階基本群,必須考慮相對於一個子空間的同倫概念。這是指能在不變動該子空間的狀況下連續變化,正式定義是:設
是連續函數,固定子空間
;若存在前述同倫映射
,滿足:
![{\displaystyle H(x,0)=f(x),H(x,1)=g(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91efda096e737a7a616fc9e24ef309d8d6a2836f)
![{\displaystyle \forall k\in K\;H(k,t)=f(k)=g(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadb719bf1a39bef138582cf2347f5fb8c71159f)
則稱
相對於
同倫。若取
,則回到原先的同倫定義。
空間的同倫等價
給定兩個拓撲空間
與
,我們稱之同倫等價(或稱具相同倫型),若且唯若存在兩個連續映射
與
,使得:
同倫到
的恆等映射
。
同倫到
的恆等映射
。
同胚蘊含同倫,反之則不然,詳見以下例子:
例三:
- 一個平面上的圓或橢圓同倫等價到
,即去掉一點的平面。
- 線段
、閉圓盤及閉球間兩兩同倫等價,它們皆同倫等價於一個點。
同倫等價是個拓撲空間之間的等價關係。許多代數拓撲學裡的性質均在同倫等價下不變,包括有:單連通、同調群及上同調群等等。
同痕
同痕(Isotopy)是同倫的加細版;我們進一步要求所論的函數
和
是嵌入,並要求兩者間可用一族嵌入映射相連。
定義如此:
與
被稱為同痕的,若且唯若存在連續映射
使之滿足:
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,0)=f(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e965e16a75cb013547932b0d37fe357323e3eb4a)
![{\displaystyle \forall x\in X,\,H(x,1)=g(x)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13eca2a312dbd050af4c93000b6db55ed2158223)
- 對所有
,映射
是個嵌入映射。
同痕的概念在紐結理論中格外重要:若兩個結同痕,則我們視之相等;換言之,可以在不使結扯斷或相交的條件下彼此連續地變形。
注釋
參考
參見