單位又被稱為可逆元素。在數學裡,於一(有單位的)環
內的可逆元素是指一
的可逆元素,即一元素
使得存在一於
內的
有下列性質:
,其中
是乘法單位元素。
亦即,
是
內乘法么半群的一可逆元素。
可逆元素群
- 主條目:單位群
的可逆元素組成了一於乘法下的群
,稱做
的可逆元素群(或單位群)。可逆元素群U(R)有時亦被標記成R*或R×。
在一可交換單作環R內,可逆元素群U(R)以乘法作用於R上頭。此一作用的軌道(orbit)被稱為結合集合;換句話說,存在一於R上的等價關係 ~ ,且當r~s時,表示存在一可逆元素u使得r=us。
U是一由環範疇至群範疇的函子:每一個環同態 f : R → S 都可導出一群同態U(f) : U(R) → U(S),當f會將可逆元素映射至可逆元素時。此一函數子有為整數群環結構的左伴隨。
一個環R是一個除環若且唯若R* = R \ {0}。
例子
- 在整數環
裡,可逆元素為±1。其每一軌道內都有兩個元素n和−n。
- 任一單位根均是某一單作環
內的可逆元素。(若
是一單位根,且
,則
亦為
的元素)。
- 在代數數論裡,狄利克雷單位定理證明了許多代數整數環內可逆元素的存在域。例如,在環
,
,因此
都是可逆元素。
- 在環
,於一體
上的
矩陣內,其可逆元素恰好就是可逆矩陣。