卡塔蘭猜想
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卡塔蘭猜想也稱為米哈伊列斯庫定理,是比利時數學家歐仁·查理·卡塔蘭在1844年提出的數論猜想,已在2002年4月由帕德博恩大學的羅馬尼亞數學家普雷達·米哈伊列斯庫證明了這猜想,因此也稱為米哈伊列斯庫定理,證明大幅使用了分圓域和伽羅華模。
此定理斷言除了,,沒有兩個連續整數都是正整數的冪(即次方數);以數學方式表述為:不定方程的大於1的正整數只有唯一解。
歷史
在卡塔蘭之前已有人考慮過類似的問題。
- 1320年左右,萊維·本·熱爾松(1288年—1344年)證明2和3的冪之間只有8和9相差是1。
- 萊昂哈德·歐拉證明,x2 - y3 = 1只有一解:x = 3,y = 2。
- 勒貝格證明了方程xa - y2 = 1,a > 1 沒有正整數解。
- 1965年柯召證明方程x2 - yb = 1,b > 1 只有一個解。
於是卡塔蘭猜想只餘下為奇素數的情況。
- 1976年羅貝特·泰德曼(Robert Tijdeman)證明卡塔蘭猜想的方程只有有限個解。雷·斯坦納(Ray Steiner)和莫里斯·米尼奧特(Maurice Mignotte)也對這猜想作出貢獻。
- 皮萊猜想(Pillai's conjecture):把卡塔蘭猜想一般化,推測正整數的冪之間的差趨向無限大;換句話說,對任何正整數,僅有限多對正整數的冪的差是這個數。這猜想現在仍未解決。若abc猜想成立,則皮萊猜想也成立。
參見
參閱
- 埃里克·韋斯坦因. Catalan's conjecture. MathWorld.
- Ivars Peterson's MathTrek(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Jeanine Daems: A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture
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