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卡塔蘭數

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明安圖《割圜密率捷法》卷三 「卡塔蘭數」書影
卡塔蘭數

卡塔蘭數(英語:Catalan number)是組合數學中一個常在各種計數問題中出現的數列,以比利時數學家歐仁·夏爾·卡塔蘭命名。歷史上,清朝數學家明安圖在其《割圜密率捷法》中最先發明這種計數方式,早於卡塔蘭[1][2][3]。有中國學者建議將此數命名為「明安圖數」或「明安圖-卡塔蘭數[4]

卡塔蘭數的一般項公式為

第0項到第19項的卡塔蘭數為:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, ...(OEIS數列A000108

性質

Cn的另一個表達形式為

所以,Cn是一個自然數;這一點在先前的通項公式中並不顯而易見。這個表達形式也是André對前一公式證明的基礎。

遞推關係[5]

它也滿足

這提供了一個更快速的方法來計算卡塔蘭數。

卡塔蘭數的漸近增長為

它的含義是當n → ∞時,左式除以右式的商趨向於1。(這可以用n!的斯特靈公式來證明。)

所有的奇卡塔蘭數Cn都滿足。所有其他的卡塔蘭數都是偶數。

而且

母函數

卡塔蘭數母函數

[6]

解是

應用

組合數學中有非常多的組合結構可以用卡塔蘭數來計數。在Richard P. Stanley的Enumerative Combinatorics: Volume 2一書的習題中包括了66個相異的可由卡塔蘭數表達的組合結構。以下用n=3和n=4舉若干例:

  • Cn表示長度2ndyck word英語Dyck word[7]的個數。Dyck詞是一個有n個X和n個Y組成的字串,且所有的前綴字串皆滿足X的個數大於等於Y的個數。以下為長度為6的dyck words:
XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
  • 將上例的X換成左括號,Y換成右括號,Cn表示所有包含n組括號的合法運算式的個數:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
  • Cn表示有n個節點組成不同構二元樹的方案數。下圖中,n等於3,圓形表示節點,月牙形表示什麼都沒有。
  • Cn表示有2n+1個節點組成不同構滿二元樹的方案數。下圖中,n等於3,圓形表示內部節點,月牙形表示外部節點。本質同上。

證明令1表示進棧,0表示出棧,則可轉化為求一個2n位、含n個1、n個0的二進制數,滿足從左往右掃描到任意一位時,經過的0數不多於1數。顯然含n個1、n個0的2n位二進制數共有個,下面考慮不滿足要求的數目。

考慮一個含n個1、n個0的2n位二進制數,掃描到第2m+1位上時有m+1個0和m個1(容易證明一定存在這樣的情況),則後面的0-1排列中必有n-m個1和n-m-1個0。將2m+2及其以後的部分0變成1、1變成0,則對應一個n+1個0和n-1個1的二進制數。反之亦然(相似的思路證明兩者一一對應)。

從而。證畢。

  • Cn表示所有在n × n格點中不越過對角線的單調路徑的個數。一個單調路徑從格點左下角出發,在格點右上角結束,每一步均為向上或向右。計算這種路徑的個數等價於計算Dyck word的個數:X代表「向右」,Y代表「向上」。下圖為n = 4的情況:
  • Cn表示通過連結頂點而將n + 2邊的凸多邊形分成三角形的方法個數。下圖中為n = 4的情況:
  • Cn表示對{1, ..., n}依序進出置換個數。一個置換w是依序進出棧的當S(w) = (1, ..., n),其中Sw)遞歸定義如下:令w = unv,其中nw的最大元素,uv為更短的數列;再令S(w) = S(u)S(v)n,其中S為所有含一個元素的數列的單位元。
  • Cn表示用n個長方形填充一個高度為n的階梯狀圖形的方法個數。下圖為n = 4的情況:
  • Cn表示表為2×n的矩陣的標準楊氏矩陣的數量。 也就是說,它是數字 1, 2, ..., 2n 被放置在一個2×n的矩形中並保證每行每列的數字升序排列的方案數。同樣的,該式可由勾長公式的一個特殊情形推導得出。
  • Cn表示n個無標號物品的半序的個數。

漢克爾矩陣

無論n的取值為多少,n×n漢克爾矩陣:行列式為1。例如,n = 4 時我們有

進一步,無論n的取值為多少,如果矩陣被移動成,它的行列式仍然為1。例如,n = 4 時我們有

同時,這兩種情形合在一起唯一定義了卡塔蘭數。

參考文獻

  1. ^ 吳文俊主編 《中國數學史大系》第7卷 474-475頁
  2. ^ 明安图第发明卡塔兰数之第一人. [2014-06-24]. (原始內容存檔於2020-01-31). 
  3. ^ 中国人在18世纪发现卡塔兰数 (PDF). [2014-06-24]. (原始內容存檔 (PDF)於2021-02-24). 
  4. ^ 吳文俊主編 《中國數學史大系》 第七卷 476頁
  5. ^ Bowman, Douglas; Regev, Alon. Counting symmetry classes of dissections of a convex regular polygon. Advances in Applied Mathematics. 2014-05, 56: 35–55 [2020-02-23]. doi:10.1016/j.aam.2014.01.004. (原始內容存檔於2020-02-23) (英語). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (編). Catalan Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2020-02-23]. (原始內容存檔於2019-06-18) (英語). 
  7. ^ DyckPaths. www.findstat.org. [2020-02-23]. (原始內容存檔於2020-12-03).