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切比雪夫方程

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切比雪夫方程(英語:Chebyshev equation)是指二階線性常微分方程

其中p為一實常數。該方程是以俄羅斯數學家巴夫尼提·切比雪夫的名字命名的。

方程的解為冪級數

其中係數可通過以下遞推關係式計算:

級數在上收斂(對遞推關係式應用比值審斂法可得)。

遞推關係的初值a0與a1可為任意值,由此可得微分方程不同的特解。通常初值可取為:

a0 = 1 ; a1 = 0,可得解

以及

a0 = 0 ; a1 = 1,可得解

通解可表示為以上兩特解的任意線性組合。

當p為整數時,兩個函數中有一個為有限項:p為偶數時F為有限項,反之G為有限項。此時,那個為有限項的函數是一個p次多項式,並與p次切比雪夫多項式成比例:

(p為偶數)
(p為奇數)

參考文獻