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分類公理

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公理化集合論和使用它的邏輯數學計算機科學分支中,分類公理模式、或分離公理模式、或受限概括公理模式Zermelo-Fraenkel 集合論中的一個公理模式。它也叫做概括公理模式,儘管這個術語也用於下面討論的無限制概括

假定 P 是不含符號 B 的一個單變量謂詞。在 Zermelo-Fraenkel 公理的形式語言中,這個公理模式讀做:

換句話說:

給定任何集合 A有著一個集合 B,使得給定任何集合 x,有 xB 的成員若且唯若 xA 的成員並且 P 對於 x 成立。注意對於所有這種謂詞 P 都有一個公理,所以這是個公理模式

要理解這個公理模式,注意集合 B 必須是 A子集。所以,這個公理模式實際上說的是,給定集合 A 和謂詞 P,我們可以找到 A 的子集 B,它的成員正是那些滿足 PA 的成員。通過外延公理可知這個集合是唯一的。我們通常使用集合建構式符號把它指示為 {xA : P(x)}。所以這個公理的本質是:

一個通過一個謂詞定義的集合的任何子類自身是一個集合。

分類公理模式是與 ZFC 集合論有關的公理集合論系統的特徵,但在根本上不同的可替代的集合論系統中通常不出現。例如,新基礎集合論正集合論使用對樸素集合論概括公理的不同的限制。Vopenka 的可替代的集合論有一個特殊要點,它允許集合的真子類的存在,這樣的真類叫做半集合。即使在與 ZFC 有關的系統中,這個公理模式有時也限制於帶有有界量詞英語Bounded quantifier的公式,比如在KPU中。

與替代公理模式的關係

分離公理模式幾乎可以單從替代公理模式推導出來。

首先,替代公理模式讀做:

其中F是不使用符號 A, B, xy 的任何一個變量泛函謂詞 。給定適用於分類公理的一個謂詞 P,定義映射 F 為:F(x) = x 如果 P(x) 為真,F(x) = z 如果 P(x) 為假,這裡的 zA 的使 P(z) 為真的任何成員。那麼替代公理所保證的集合 B 完全就是分類公理所要求的集合 B。唯一的問題是這樣的 z 有可能不存在。但是在這種情況下,分離公理所要求的集合 B 是個空集,所以分離公理可從替代公理和空集公理共同得出。

為此,分離公理模式經常從現代 Zermelo-Fraenkel 公理列表中省略。但是出於歷史的考慮,和同下面章節中的集合論的可替代的公理化的比較,它仍是重要的。

無限制概括

無限制的概括公理讀做:

就是說:

存在著一個集合 A,它的成員正是滿足謂詞 P 的那些對象。同樣地,集合 A 也是唯一的,並通常指示為 {x : P(x)}。

在採納嚴格公理化之前,這個公理模式默認的用在早年的樸素集合論中。不幸的是,若然把P(x)替換成(xx),它就直接導致了羅素悖論。所以,有用的集合論的公理化都不能包括無限制概括,至少不跟經典邏輯一同被使用。

只接受分類公理模式是公理化集合論的開端。多數其他 Zermelo-Fraenkel 公理(不包括外延公理正規公理)對充當對概括公理模式的額外替代是必須的;每個公理都聲稱一個特定集合存在,並通過給出它的成員必須滿足的謂詞來定義這個集合。

在 NBG 類理論中

von Neumann-Bernays-Gödel 集合論中,對集合和這兩者作出了區分。一個類 x 是集合,若且唯若它屬於某個類 B。在這個理論中,有一個定理模式讀做:

定義了 之後,它可以簡寫為

就是說:

有一個類 A 使得任何類 xA 的成員,若且唯若 x 是滿足 P 的一個集合。這個定理模式自身是受限的概括,避免了羅素悖論,因為它要求 x 是一個集合。接著把集合自身的分類寫為單一的公理:

就是說:

給定任何類 A 和任何集合 x,有一個集合 y,它的成員完全是 xA 二者共有的成員;

定義了 之後,它可以簡寫為:

就是的說:

A 和集合 x交集是一個集合 y

在這個公理中,謂詞 P 被替代為可量化在其上的類 A

在二階邏輯中

二階邏輯中,我們可以在謂詞上作量化,而概括公理模式成為簡單的公理。這使用了同前面章節 NBG 公理一樣的技巧,把謂詞替代為一個類並接著量化於其上。

在蒯因的新基礎中

蒯因所開創的新基礎集合論中,給定謂詞的概括公理採用無限制形式,但是對可以用於這個模式的謂詞自身是有限制的。謂詞 (xx) 是禁止的,因為同一個符號 x 出現在成員關係符號的兩端(因而有不同「相對類型」);因此避免了羅素悖論。 但是,把 P(x) 替換為 (x = x) 是允許的,我們可以形成所有集合的集合。詳情請參見層化

參考文獻

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.