在抽象代數中,分式環或分式體是包含一個整環的最小體,典型的例子是有理數體之於整數環。此外分式環也可以推廣到一般的交換環,此時通常稱作全分式環。
分式環有時也被稱為商體,但此用語易與商環混淆。
構造
分式環是局部化的一個簡單特例。以下設
為一個整環,而
。
在集合
上定義下述等價關係
:
![{\displaystyle (r,s)\sim (r',s')\iff rs'-r's=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7fd7c4bfbc203d72a632375d762816de28e1747)
等價類
可以想成「分式」
,上述等價關係無非是推廣有理數的通分;藉此類比,在商集
上定義加法與乘法為:
![{\displaystyle [r,s]+[r',s']=[rs'+r's,ss']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81546d0a60e354768323a41bc9ac80e277d9f270)
![{\displaystyle [r,s][r',s']=[rr',ss']}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc0e9505cb3ca94832eccca12b06c7ebd43fb8e5)
可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態
,定義為
;這是一個單射。於是可定義分式環
,再配上上述的加法與乘法運算。在實踐上,我們常逕將
裡的元素寫作分式
。
泛性質
整環
的分式環
及其自然環同態
滿足以下的泛性質:
- 對任何環
及環同態
,若
中的元素在
下的像皆可逆,則存在唯一的環同態
,使得
是
與
的合成。
此性質不外是形式地表達了「K(R) 是包含 R 的最小的體」這個陳述。據此泛性質可形式地證明:任何一組資料
若使得
中的元素在
下的像皆可逆,且滿足上述泛性質,則
必與
同構。
例子
- 有理數體
是整數環
的分式環。
- 有理函數體是多項式環的分式環
- 代數數體是代數整數環的分式環。
- 在一個連通複流形上,亞純函數體是全純函數環的分式環。
推廣
對於一般的交換環
(容許有零因子),分式環是一種退而求其次的建構:我們想找使
為單射的「最大」局部化,詳述如下:
設
為
中的非零因子所成子集,它是個積性子集,因此可對之作局部化。令
,此時
常被稱作
的全分式環。