共軛類
數學上,特別是在群論中,群的元素可以分割成共軛類(英語:Conjugacy class);同一個共軛類的元素有很多共同的屬性。非交換群的共軛類有很多關於該群的結構的重要特徵。對於交換群,這個概念是平凡的,因為每個類就是一個單元素集合。
定義
對於群 中的元素 和 , 稱為 關於 的共軛。類似地,對元素 和 ,如果存在元素 使得 ,可以稱 和 共軛。
對由可逆矩陣構成的一般線性群 ,共軛的元素(矩陣)稱為相似矩陣。
共軛是一種等價關係,因此可以 分割為等價類。(這表示群的每個元素屬於恰好一個共軛類,而類 和 相等若且唯若 和 共軛,否則不相交。)包含群 中元素 的等價類是
稱為 的共軛類。 的類數是不同共軛類的個數。同一個共軛類中的元素的階相同。
例子
- 恆等 (abc -> abc)表示為(1)
- 對換 (abc -> acb,abc -> bac,abc -> cba)表示為(23) (12) (13)
- 三階輪換 (abc -> bca,abc -> cab)表示為(132) (123)
對稱群,由4個元素的全部24個置換組成,有5個共軛類:
- 恆等
- 對換
- 三階輪換
- 四階輪換
- 雙對換
參看立方體的恰當轉動,它可以用體對角線的枚舉刻劃。
- 在矩陣,在同一個共軛類的矩陣稱為相似矩陣。
屬性
- 單位元素總是自成一類,也就是說。
- 若可交換,則對於所有和屬於成立;所以對於屬於成立;可見這個概念對於交換群不是很有用。
共軛群作用
令 為群,對任意 ,定義 關於自身的群作用
- 。
在作用 上的軌道是其在群 中的共軛類。元素 的穩定子群等於該元素的中心化子。
類似地,我們可以令 作用在 的所有子集構成的集合,有
- 。
又或者是作用在 的子群構成的集合。
共軛類方程式
若 為有限群,對 的任意元素 ,其共軛類中的元素可以與中心化子 的陪集一一對應。因為同一陪集的任意兩元素 和 (存在 使得 )對 的共軛相同:
- 。
由於 在 上的軌道等於其共軛類,其穩定子群等於其中心化子,上述結論亦可以由軌道-穩定化子定理給出。
的共軛類的元素個數等於它的中心化子的指數 ,因而整除 的階。
進一步的有,對於任何群 ,從 的每個元素個數大於 的共軛類中取出一個元素來定義一個代表集 。則 是群的中心 以及 中所有元素的共軛類 的互斥聯集集。由此可得群論中重要的類方程式:
其中求和取遍對於每個 中的 的 。注意 是 的共軛類的元素個數。該方程式經常用於獲得關於共軛類或者中心的大小的資訊。
例子
考慮一個有限的 p-群 (即元質數目為 的群,其中 是一個質數且 )。我們將證明:每個有限p-群有非平凡的中心。
因為 的任意子群的指數必須整除 的次數,所以每個 等於 的一個冪 , 。類方程式給出
由於 整除 和 , 必須整除 ,所以 。
子群和一般子集的共軛
更一般的來講,給定任意G的子集S(S不必是子群),我們定義一個G的子集T為S的共軛,若且唯若存在某個g屬於G滿足T = gSg−1。我們可以定義Cl(S)為所有共軛於S的子集T的集合。
一個常用的定理是,給定任意子集S,N(S)(S的正規化子)的指數等於Cl(S)的次數:
- |Cl(S)| = [G : N(S)]
這是因為,如果g和h屬於G,則gSg−1 = hSh−1若且唯若gh −1屬於N(S),換句話說,若且唯若g和h屬於N(S)的同一個陪集。
注意這個公式推廣了前面關於共軛類元素的個數的定理(S = {a}的特殊情況)。
上述定理在討論G的子群時尤其有用。子群可以由此分為等價類,兩個子群屬於同一類若且唯若它們共軛。共軛子群是同構的,但是同構子群未必共軛(例如,交換群可以有兩個不同的互相同構的子群,但是它們不可能共軛)。
作為群作用的共軛類
如果對於任意兩個G中的元素g和x定義
- g.x = gxg−1
則我們有了一個G在G上的群作用。該作用的軌道就是共軛類,而給定元素的定點子群就是該元素的中心化子。
同樣,我們可以定義一個在G的所有子群或者所有子集的集合上的G的群作用如下
- g.S = gSg−1。
參看
參考
- Herstein, I.N. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-36879-2
- Dummit, David and Richard Foote. Abstract Algebra, Wiley, ISBN 0-471-43334-9
- Lang, Serge. Algebra, Springer, ISBN 0-387-95385-X