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克拉莫-克若尼關係式

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克喇末-克勒尼希關係式(英語:Kramers–Kronig relations)是數學上連結複面上半可析函數實部和虛部的公式。此關係式常用於物理系統的線性反應函數。物理上因果關係(系統反應必須在施力之後)意味著反應函數必須符合複面上半的可析性。反之,反應函數的可析性意味著相應物理系統的因果性。此關係式以拉爾夫·克勒尼希漢斯·克喇末為名。

公式定義

給定一複數變數的複值函數,其中是實值函數。假設此函數複數平面上半部可析,且當趨向無限大時,它在上半平面趨於零的速度比快或與之相等,那麼滿足以下關係:

其中表示柯西主值。因此可析函數的實部和虛部並不獨立:函數的一部分可以重建整個函數。

推導

推導克喇末-克勒尼希關係式是留數定理的基本應用。對任何複面上半可析函數和實數函數在複面上半可析。留數定理得到對任何在複面上半的積分路徑:

克拉默斯-克朗尼希關係的積分路徑。

選用實軸上的路徑、跳過任何實軸上極點、再以複面上半圓完成。把積分分解成三部分。其中半圓部分長度和成正比,因此只要消失比快,對半圓部分積分趨向零。因此積分只剩實軸上直線部和跳過極點的小半圓:

以上第二項留數定理[1]的結果。重組後得到克喇末-克勒尼希關係式:

分母裡的虛數意味者這是連系實部和虛部的公式。把分解成實部和虛部可輕易得到更早的公式。

物理理解

可以將Kramers-Kronig關係應用於響應函數理論。物理上,響應函數概括系統對在時間的作用力在另一時間的反應

因為系統不能在施力前有任何反應因此當。 可以證明這因果關係意味著傅立葉變換複面上半可析。另外如果我們施加系統一個遠高於它最高共振頻率的高頻作用力,此時作用力轉換太快而系統不能即時做出反應,因此很大時,會趨近於0。從這些物理考量,可知物理反應函數通常符合克喇末-克勒尼希關係式的前提條件。

反應函數的虛部和作用力異相。它概括系統如何消散能量。因此利用克喇末-克勒尼希關係,我們可以透過觀察系統能量消耗而得到它對作用力的同相(不做功)反應,反之亦然。

上述函數的積分路徑是從,其中出現了負頻率。幸運的是,多數系統中,正頻響應決定了負頻響應,這是因為是實數變量的傅立葉變換,根據對實數進行傅立葉變換的性質,是頻率的偶函數,而的奇函數。

根據該性質,積分可以從正負無窮區間約化為的區間上。考慮實部的第一個關係,積分函數上下同乘可得:

由於為奇函數,第二項為零,剩下的部分為

類似的推導亦可用於虛部:

該 Kramers-Kronig 關係在物理響應函數上的很有用處。

參考文獻

  1. ^ G. Arfken. Mathematical Methods for Physicists. Orlando: Academic Press. 1985. ISBN 0120598779.