白努利數
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n | B± n |
---|---|
0 | 1 |
1 | ±1/2 |
2 | 1/6 |
3 | 0 |
4 | −1/30 |
5 | 0 |
6 | 1/42 |
7 | 0 |
8 | −1/30 |
9 | 0 |
10 | 5/66 |
11 | 0 |
12 | −691/2730 |
13 | 0 |
14 | 7/6 |
15 | 0 |
16 | −3617/510 |
17 | 0 |
18 | 43867/798 |
19 | 0 |
20 | −174611/330 |
數學上,白努利數 Bn 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為:
- B0 = 1, B±
1 = ± 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = − 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = − 1/30.
上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義,而這兩種定義只有在n = 1 時有所不同:
- B−
n 表示第一白努利數 (A027641 / A027642),由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定,在這標準下 B−
1 = − 1/2. - B+
n 表示第二白努利數 (A164555 / A027642),又被稱為是「原始的白努利數」[1] ,在這標準下 B+
1 = + 1/2.
由於對於所有大於1的奇數 n白努利數 Bn = 0 ,且許多公式中僅使用偶數項的白努利數,一些作者可能會用"Bn"來代表 B2n,不過在本文中不會使用如此的簡寫。
等冪求和
白努利數Bn是等冪求和的解析解中最為明顯的特徵,定義等冪和如下,其中m, n ≥ 0:
這數列和的公式必定是變數為n,次數為m +1次的多項式,稱為白努利多項式。白努利多項式的係數與白努利數有密切關係如下:
其中(m + 1
k) 為二項式係數。
舉例說,把m取為1,我們有
白努利數可以由下列遞迴公式計算:
- ,
初值條件為B0 = 1,B1 = 1/2。 或者:,
初值條件為B0 = 1,B1 = -1/2。
白努利數也可以用母函數技巧定義。它們的指數母函數是x/(ex − 1),使得對所有絕對值小於2π的x(冪級數的收斂半徑),有
- 。
有時會寫成小寫bn,以便與貝爾數分別開。
最初21項白努利數記於OEIS中的數列A027641和A027642。
可以證明對所有不是1的奇數n有Bn = 0。
數列中乍看起來突兀的B12 = −691/2730,喻示白努利數不能以初等方式描述;其實它們是黎曼ζ函數於負整數的值,有深邃的數論性質聯繫,所以不能預期有簡單的計算公式。
白努利數出現在正切和雙曲正切函數的泰勒級數展開式、歐拉-麥克勞林公式,及黎曼ζ函數的一些值的表達式。
在1842年的愛達·勒芙蕾絲的分析機筆記的筆記G,第一次記述了一個讓電腦產生白努利數的算法。
一些等式
歐拉以黎曼ζ函數表達白努利數為:
- 。
在[−1, 0]區間上的連續均勻機率分布的n階累積量是Bn/n。
白努利數的算術性質
白努利數可以用黎曼ζ函數表達為Bn = − nζ(1 − n),也就說明它們本質上是這函數在負整數的值。因此,可推測它們有深刻的算術性質,事實也的確如此,這是庫默爾(Kummer)研究費馬大定理時發現的。
白努利數的可整除性是與分圓體的理想類群有關。這關係由庫默爾的一道定理和更強的埃爾貝朗-里貝定理(Herbrand-Ribet)描述。而這性質與實二次體的關係由安克尼-阿廷-喬拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)給出。白努利數還和代數K理論有關:若cn是Bn/2n的分子,那樣的階是−c2n若n為偶數;2c2n若n為奇數。
與整除性也有關連的是馮·施陶特-克勞森定理(von Staudt-Clausen)。這定理是說,凡是適合p − 1整除n的質數p,把1/p加到Bn上,我們會得到一個整數。這個事實給出了非零白努利數Bn的分母的特徵:這些分母是適合p − 1整除n的所有質數p的乘積;故此它們都無平方因子,也都可以被6整除。
吾鄉-朱加猜想猜測p是質數若且唯若pBp−1模p同餘於−1。
p進連續性
白努利數的一個特別重要的同餘性質,可以表述為p進連續性。若b,m和n是正整數,使得m和n不能被p − 1整除,及,那麼
- 。
因為,這也可以寫成
- ,
其中u = 1 − m和v = 1 − n,使得u和v非正,及不是模p − 1同餘於1。這告訴我們,黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中去掉後,對適合模p − 1同餘於某個的負奇數上的p進數連續,因此可以延伸到所有p進整數,得出p進ζ函數。
白努利數的幾何性質
在時給出可平行流形邊界的怪(4n−1)球,對於它們的微分同胚類的循環群的階,有凱爾韋爾-米爾諾公式(Kervaire-Milnor),用到了白努利數。若B是B4n/n的分子,那麼這種怪球的數目是。(拓撲學文章中的公式與這裡不同,因為拓撲學家為白努利數編號的習慣不同。本文跟隨數論家的編號習慣。)