烏鴉悖論

一隻黑烏鴉

非黑非烏鴉

烏鴉悖論（英語：raven paradox），也叫做亨佩爾的烏鴉或亨佩爾悖論，是1940年代德國邏輯學家卡爾·亨普爾為了說明歸納法違反直覺而提出的一個悖論。

問題的綜述

幾千年以來，無數人觀察了許多事務，比如地心引力法則，人們趨於相信其極可能是真理。這種類型的推理可以總結成「歸納法原理」：

如果實例 X 被觀察到和論斷 T 相符合，那麼論斷 T 正確的概率增加。

亨佩爾給出了歸納法原理的一個例子： 「所有烏鴉都是黑色的」論斷。我們可以出去觀察成千上萬隻烏鴉，然後發現他們都是黑的。在每一次觀察之後，我們對「所有烏鴉都是黑的」的信任度會逐漸提高。歸納法原理在這裡看起來合理的。

現在問題出現了。「所有烏鴉都是黑的」 的論斷在邏輯上和「所有不是黑的東西不是烏鴉」等價。如果我們觀察到一個紅蘋果，它不是黑的，也不是烏鴉，那麼這次觀察必會增加我們對「所有不是黑的東西不是烏鴉」的信任度，因此更加確信「所有的烏鴉都是黑的！」這個問題被總結成：

我從未見過紫色的牛， 但若我見到一頭， 烏鴉皆黑的概率， 更加可能是一麼？	I never saw a purple cow But if I were to see one Would the probability ravens are black Have a better chance to be one?
（改寫自吉利特·伯吉斯的詩）

解決提議

解決它和直覺的衝突，哲學家們提出了一些方法。美國邏輯學家納爾遜·古德曼建議對我們的推理添加一些限制，比如永遠不要考慮支持論斷「所有P滿足Q」且同時也支持「沒有P滿足Q」 的實例。

其他一些哲學家質疑「等價原理」。也許紅蘋果能夠增加我們對論斷「所有不是黑的東西不是烏鴉」的信任度，而不增加我們對 「所有烏鴉都是黑色的」信任。這個提議受到質疑，因為你不能對等價的兩個命題有不同的信任度，如果你知道他們都是真的或都是假的。

古德曼，以及其後的威拉德·馮·奧曼·蒯因，使用術語「projectible predicate」來描述這些類似於「烏鴉」和「黑色」的命題，所有這類命題是支持歸納推理法的；而「非projectible predicate」則為與之相反的後者，如「非黑」和「非烏鴉」這些命題並不支持歸納推理法。蒯因還提出一個需要證實的猜想：如果任何命題是projectible的；在無限物件組成的全集中，一個projectible的命題的補集永遠是非projectible的。

這樣一來，雖然「所有烏鴉都是黑的」和「所有不是黑的東西都不是烏鴉」這兩個命題所擁有的信任度必須相等，但只有「黑色的烏鴉」才能同時增加兩者的信任度，而「非黑色的非烏鴉」並不增加任何一個命題的信任度。

還有些哲學家認為其實這個命題是完全正確的，出錯的是我們自己的邏輯。其實觀察到一個紅色的蘋果確實會增加烏鴉都是黑色的可能性！這就相當於：如果有人把宇宙中所有不是黑的物體都給你看，而你發現所有的物體都不是烏鴉，那你就完全可以斷定所有烏鴉都是黑的了。這個「悖論」看上去荒謬只是因為宇宙中「不是黑的」物體遠遠多於「烏鴉」，所以發現一個「不是黑的」物體只增加了極其微小的對於「烏鴉都是黑的」的信任度，而相對而言，每發現一隻黑的烏鴉就是一個有力的證據了。

既然在邏輯上沒有矛盾，烏鴉悖論應該不是悖論，問題出在語感上，「烏鴉都是黑色的」，這是一個判斷句，後半句是結論，因此形容詞黑色不是修飾前面的烏鴉，而是修飾後面被省略掉的名詞，根據語感來看被省略的應該是鳥，完整的句子應該是「烏鴉都是黑色的鳥」。與之等價的句子是「不是黑色的鳥都不是烏鴉」，看到一隻白色的天鵝，的確不是烏鴉，在語感和邏輯上也都合理多了。

貝氏定理

除了以上的陳述以外，「歸納法原理」還有另一種形式，就是貝氏推理。

設 X 為支持論斷 T 的一個實例，而 I 表示我們所有的已知信息。

$\Pr(\bullet |\circ )$ 表示論斷 T 成立的機率，已知 X 和 I 都是成立的，可以推得，

$\Pr(T|XI)={\frac {\Pr(T|I)\cdot \Pr(X|TI)}{\Pr(X|I)}}$

這裡 $Pr(T|I)$ 表示在只有 I 是已知成立的情況下，T 成立的機率；$Pr(X|TI)$ 表示在 T 和 I 都已知成立的情況下，X 成立的機率；而 $Pr(X|I)$ 表示在只有 I 是已知成立的情況下，X 成立的機率。

利用這個原理，這個悖論就不會出現了。如果有人隨機選一個「蘋果」，那麼他看到一個紅蘋果的機率和「烏鴉」的顏色是完全沒有關係的。這時分子等於分母，所以分數等於1，所以以上討論的機率不會改變。所以看見一隻紅色的蘋果不會增加人們對「烏鴉都是黑色的」的信任度。

而如果那人是隨機選擇一個非黑的「物件」，那個物件正好是一個紅的蘋果，那麼我們會得到一個分子大於分母的，幾乎等於一的假分數。所以在這個情況下，看見一隻紅蘋果確實會極微小地增加我們對「烏鴉都是黑色的」的信任度。

其實，隨著一個人看到的不是黑色的東西的增加（並發現其中沒有烏鴉），「烏鴉都是黑色的」的機率會趨向於1。

參見

• 貝氏定理
• 貝氏推理
• 白馬非馬
• 以偏概全

參考書目

• Hempel, C. G. A Purely Syntactical Definition of Confirmation. J. Symb. Logic 8, 122-143, 1943.
• Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. Mind 54, 1-26, 1945.
• Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. II. Mind 54, 97-121, 1945.
• Hempel, C. G. Studies in the Logic of Confirmation. In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館），eds. Probability, Confirmation, and Simplicity. New York: Odyssey Press, 1966. Pp 145-183
• Falletta, Nicholas. The Paradoxicon: a Collection of Contradictory Challenges, Problematical Puzzles, and Impossible Illustrations. 1983. Pp 126-131. ISBN 0385179324

外部連結

• （英文）PRIME Encyclopedia