ε-δ語言

ε-δ語言，或極限的(ε, δ)定義（(ε, δ)-definition of limit）是一種在數學分析中僅使用（有限多的）實數值來定義極限的方法。

歷史背景

由牛頓和萊布尼茨創立的微積分，使用了無窮小（小於任何正實數的正實數）和無窮大（大於任何實數的數）等無法在實數範圍內定義的概念。這樣的狀態一直持續到了18世紀，在歐拉將微積分大幅發展時仍未解決。當時的數學家在發展他們的理論時都沒有考慮過發散和收斂的嚴密的定義，導致他們常常得出錯誤的結論。

進入19世紀， 柯西 、 波爾查諾等人試圖根據嚴密的定義來重構微積分學。從這個時候開始，人們開始將收斂性和連續性的定義變得更加嚴格。ε-δ語言是由魏爾施特拉斯在1860年代發明的，根據它就可以在不使用無限小和無限大的概念的情況下定義收斂性和連續性。在數學史上，柯西的《分析教程》被譽為微積分的奠基之作。在其中，他使用ε-δ論證定義了函數的連續性。然而，在他自己的著作中也由於沒有區別連續性和一致連續性導致出現了錯誤。

ε-δ語言登場後，利用無窮大和無窮小的分析也被棄用了。但是之後這種解析被使用超實數規範化，用於非標準分析的領域。

數學教育中的使用

微積分定理中，特別是關於函數極限定理，就是根據這種ε-δ語言來證明的。換句話說，沒有使用ε-δ 語言的微積分缺乏嚴格的定義 。然而另一方面，除了數學之外，在自然科學、工程學、經濟學、醫學、社會學的領域，有觀點認為沒有必要使用ε-δ語言，有沒有必要教 ε-δ 語言是數學教育中一個自古以來一直持續的爭論。

函數值的收斂

如下所示，極限的概念能根據定義域在一定範圍內（有限）的變量來定義。

對於實函數$f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$，有

$\lim _{x\to a}f(x)=b$

這個式子也就是說：只要x無限接近於a，f(x)則必然無限接近於b。

利用ε-δ語言來表示的話，就是

$(\forall \varepsilon >0)\,(\exists \delta >0)\,(\forall x\in \mathbb {R} )\,(0<|x-a|<\delta \implies |f(x)-b|<\varepsilon )$

這個表達式的意思就是：對於任何正數ε，都能夠找到一個正數δ，當x滿足$0<\mid x-a\mid <\delta$時，對於滿足上式的x都有$0<\mid f(x)-b\mid <\varepsilon$

f(x)無論距離b有多近，它始終不是b，在f(x)與b之間總是能找到一個數字（而不是無窮小），使這個數字與f(x)與b的差為ε。對於每個ε都存在一個大於零的δ，使得滿足上式的x屬於a±δ。

ε和δ都是確實存在的實數，利用他們都能取得任意一個很小的實數來明確定義了極限。

當條件滿足時，正數δ是依賴於ε的變量。一般而言，對於ε，δ總是存在無數個，我們只要找到其中一個就能說明他存在。比如

$\lim _{x\to 3}x^{2}=9$

接下來我們用ε-δ語言考慮一下。如果我們對任何ε取$\delta ={\sqrt {\varepsilon +9}}-3$

$0<|x-3|<\delta ={\sqrt {\varepsilon +9}}-3$

則有

$|x^{2}-9|=|x+3||x-3|<(\delta +6)\delta =({\sqrt {\varepsilon +9}}+3)({\sqrt {\varepsilon +9}}-3)=\varepsilon$

因此

${}^{\forall }\varepsilon >0,\;{}^{\exists }\delta >0\;;\;x\in \mathbb {R} \;[0<|x-3|<\delta \Rightarrow |x^{2}-9|<\varepsilon ]$

成立，利用ε-δ語言我們知道$x\to 3$時$x^{2}\to 9$