重叠-存储之卷积法
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重叠-存储之卷积法 ( Overlap-save method, Overlap-discard method ) 是一种区块卷积 ( block convolution, sectioned convolution ),可以有效的计算一个很长的信号 x[n] 和一个 FIR 滤波器 h[n] 的离散卷积。
其中 h[m] 在 [1, M] 之外为零。
与重叠-相加之卷积法不同之处在于,重叠-存储之卷积法所算出的输出区块并不重叠 (因此计算上少了将输出区块相加所需的加法),而是每次用的输入区块有所重叠。因此实现时每次读取输入后需将和下一个输入重叠的部分存储起来,作为下一输入区块的开头部分,因此称为重叠-存储之卷积法。另外重叠-存储之卷积法也不需补零。
算法
概念上,这个做法是选用一个较短的适当长度 L 来切割 y[n] ,则因为 h[n] 是有限长度,因此在某一区块内的 y[n] 也只被有限长的 x[n] 区块(会比 y[n] 分割成的区块长一点)所决定。因此只要选择有影响的输入区块和 h[n] 卷积,再选择结果中适当的部分即可得到正确的输出区块。
则对于在 内的 n , 输出 y[n] 可写成
所以只需计算 n 在 中的 yk[n + M - kL] ,亦即 n 在 的 yk[n] 部分即可。因此每一段输出区块 yk[n] 的前 M-1 点可丢弃(discard)。
尽管一时看不出切割成区块的好处为何,但将 xk[n] 做 的周期延伸,
则 和 这两个卷积在 的部分相等。所以可以将线性卷积改以 点循环卷积计算,结果的 部分作为输出 y[n] 在 的部分。由于每段 xk[n] 原本就有 长,所以选择 的话输入 x[n] 就不需补零。 改以循环卷积计算后即可藉循环卷积定理
变换成三次 点快速傅里叶变换和 次乘法,使原本每段 O(N2) 的运算量减少至 O(N logN),速度大幅增加。
(Overlap-save algorithm for linear convolution) //////// revised by fantastic //////// N = length(x), M = length(h) O = M – 1; // overlap length must be M-1 L = M; // >=1 is OK P = O + L; H = FFT(h, P); // just calc once idx = - (O - 1); // starting index which is offset M-1 in matlab while (idx <= N) i1 = max(1, idx); // must be >= 1 i2 = min(N, idx+P-1); // must be <= N yt = IFFT( FFT(x(i1:i2), P).*H, P ); y(idx:idx+P-M) = yt(M:P); // discard first M-1 values and concatenate the remaining idx = idx + L; end y = y(1:M+N-1); // the first M+N-1 values are the convolution result
区块长度的选择
当 x[n] 的长度 N' 和 h[n] 的长度 M 相差太大时(例如 M < log2N' ),直接卷积(不透过循环卷积和 FFT )反而最快。而当 N' 和 M 差不多在同一个数量级时,不用分割,也就是只有一块长度 L = N' 的区块去做 FFT 即可。而当 N' 比 M 大了不少,却没大太多时,区块长度 L 就需要选择。除了与 N' 和 M 相关以外,也要考虑当两者相除有余数时,剩下一小段的输入可能会造成浪费。
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参考文献
- Rabiner, Lawrence R.; Gold, Bernard. Theory and application of digital signal processing. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall. 1975: pp 65–67. ISBN 0-13-914101-4.
- Helms, H., Fast Fourier transform method of computing difference equations and simulating filters, IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, 1967, 15(2): 85–90 [2008-06-23], (原始内容存档于2019-06-30)