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迈尔定理

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在数论上,迈尔定理(Maier's theorem)是一个关于短区间内的质数数量的定理。而该定理指出克拉梅尔的质数几率模型给出的猜测是错的。

该定理指称若π素数计数函数,而λ是一个大于1的数,那么下式在x趋近于无限时发散:

更精确地讲,上式的上极限大于1,下极限小于1;而在利用波莱尔-坎泰利引理的状况下,克拉梅尔的质数模型则错误地预测在时该式子的极限是1。

证明

赫尔穆特·迈尔英语Helmut Maier利用亚历山大·布赫施塔布英语Alexander Buchstab给出的、计算准质数(对于给定的,没有小于的质因数的数组成的集合)数量的公式证明了这点。他在证明中并用了帕特里克·X·加拉格尔英语Patrick X. Gallagher给出的关于算数数列中质数数量的公式。

平茨·亚诺什匈牙利语Pintz János给出另一个证明,并证明多数的质数几率模型错误地估计质数定理的一个版本中的均方误差,该均方误差如下:

参见

参考资料