艾伦伯格–麦克莱恩空间

数学中，特别是代数拓扑中，艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有单一非平凡同伦群的拓扑空间。

令G为群，n为正整数。连通拓扑空间X的第n同伦群 $\pi _{n}(X)$ 若同构于G、其他同伦群都平凡，则称X是 $K(G,n)$ 型艾伦伯格–麦克莱恩空间。设G在 $n>1$ 时是阿贝尔群，则 $K(G,n)$ 型艾伦伯格–麦克莱恩空间总存在，且都是弱同伦等价的。因此，可以认为 $K(G,n)$ 指空间的弱同伦等价类。通常将任何表示称作“一个 $K(G,n)$ ”或“ $K(G,n)$ 的模型”，此外通常假定这空间是CW复形（通过CW近似总是可能的）。

艾伦伯格–麦克莱恩空间得名于塞缪尔·艾伦伯格与桑德斯·麦克莱恩，他们在1940年代末引入了此类空间。

因此，艾伦伯格–麦克莱恩空间是一类特殊的拓扑空间，在同伦论中可视作通过波斯尼科夫塔中的纤维化构建CW复形的物件。这些空间在代数拓扑的很多方面都十分重要，如球面同伦群的计算、上同调运算的定义及与奇异上同调的紧密联系。广义艾伦伯格–麦克莱恩空间是具有艾伦伯格–麦克莱恩空间 $\prod _{m}K(G_{m},m)$ 的拓扑积的同伦类的空间。

例子

单位圆 $S^{1}$ 是 $K(\mathbb {Z} ,1)$ 。
无穷维复射影空间 $\mathbb {CP} ^{\infty }$ 是 $K(\mathbb {Z} ,2)$ 的模型。
无穷维实射影空间 $\mathbb {RP} ^{\infty }$ 是 $K(\mathbb {Z} /2,1)$ 。
k个单位圆的楔和 $\textstyle \bigvee _{i=1}^{k}S^{1}$ 是 $K(F_{k},1)$ ，其中 $F_{k}$ 是k个生成子上的自由群。
3维球 $S^{3}$ 中任何连通结或图的补是 $K(G,1)$ 型，这种现象被称作“结的非球面性”，是赫里斯托斯·帕帕基里亚科普洛斯于1957年提出的定理。^[1]
紧连通曲率非正流形M是 $K(\Gamma ,1)$ ，其中 $\Gamma =\pi _{1}(M)$ 是M的基本群。这是嘉当–阿达马定理的结果。
无限透镜空间 $L(\infty ,q)$ 由 $S^{\infty }$ 对自由作用 $(z\mapsto e^{2\pi im/q}z)$ （ $m\in \mathbb {Z} /q$ ）的商给出，是 $K(\mathbb {Z} /q,1)$ 。这可以用覆叠空间理论和无穷维球体可收缩来证明。^[2]注意这包括作为 $K(\mathbb {Z} /2,1)$ 的 $\mathbb {RP} ^{\infty }$ 。
平面上n个点的构型空间是 $K(P_{n},1)$ ，其中 $P_{n}$ 是n股上的纯辫群。
相应地， $\mathbb {R} ^{2}$ 的第n无序构型空间是 $K(B_{n},1)$ ，其中 $B_{n}$ 表示n股辫群。^[3]
n球的无穷对称积 $SP(S^{n})$ 是 $K(\mathbb {Z} ,n)$ 。更一般地， $SP(M(G,n))$ 对所有摩尔空间 $M(G,n)$ 是 $K(G,n)$ 。

利用积 $K(G,n)\times K(H,n)$ 是 $K(G\times H,n)$ 的事实，可构造出更多基本例子，例如n维环面 $\mathbb {T} ^{n}$ 是 $K(\mathbb {Z} ^{n},1)$ 。

关于构造艾伦伯格–麦克莱恩空间的备注

对 $n=1$ 、任意群G， $K(G,1)$ 的构造与G的分类空间的构造相同。注意若G含扭元（torsion element），则K(G,1)型CW复形都是无穷维的。

构造高阶艾伦伯格-麦克莱恩空间有很多技术，如为阿贝尔群A构造摩尔空间 $M(A,n)$ ：取n个球的楔，每个球代表一个A的生成子，并通过上述楔和的 $\pi _{n}(\bigvee S^{n})$ 中相应映射附加(n+1)个胞腔（cell），实现生成子之间的关系。注意低阶同伦群 $\pi _{i<n}(M(A,n))$ 由构造是平凡的。现在通过附加大于 $n+1$ 维的胞腔，迭代杀死所有高阶同伦群 $\pi _{i>n}(M(A,n))$ ，并定义 $K(A,n)$ 为包含此迭代的直极限。

另一个有用技巧是运用单纯阿贝尔群的几何实现。^[4]这给出了代表艾伦伯格-麦克莱恩空间的单纯阿贝尔群的明确表述。

乔·彼得·梅的书^[5]从分类空间与通用丛角度给出了另一种简单构造。

由于闭路空间将同伦群降低了一圈（slot），我们有规范同伦等价 $K(G,n)\simeq \Omega K(G,n+1)$ ，因此有纤维化序列

K(G,n)\to *\to K(G,n+1)

.

注意这不是上纤维化序列：空间 $K(G,n+1)$ 不是 $K(G,n)\to *$ 的同伦上纤维。

这个纤维化序列可用于从 $K(G,n)$ 用勒雷谱序列研究 $K(G,n+1)$ 的上同调，让-皮埃尔·塞尔在利用波斯尼科夫塔和谱序列研究球面同伦群时利用了这一点。

性质

映射与上同调的同伦类间的双射

$K(G,n)$ 的一个重要性质是，对任何阿贝尔群G、任何基CW复形X，X到 $K(G,n)$ 的基映射的基同伦类集 $[X,K(G,n)]$ ，同空间X的第n奇异上同调群 $H^{n}(X,G)$ 是自然双射。因此可以说 $K(G,n)'s$ 是系数在G中的奇异上同调的表示空间。由于

{\begin{array}{rcl}H^{n}(K(G,n),G)&=&\operatorname {Hom} (H_{n}(K(G,n);\mathbb {Z} ),G)\\&=&\operatorname {Hom} (\pi _{n}(K(G,n)),G)\\&=&\operatorname {Hom} (G,G),\end{array}}

有一个区别元素 $u\in H^{n}(K(G,n),G)$ ，对应幺元。上述双射由元素的拉回 $f\mapsto f^{*}u$ 给出，这与范畴论中的米田引理很相似。

此定理的构造性证明可见参考文献^[6]，另一个利用Omega谱与广义既约上同调关系的证明可见参考文献^[7]，主要思想也将在后面略述。

闭路空间/Omega谱

艾伦伯格–麦克莱恩空间的闭路空间还是艾伦伯格–麦克莱恩空间： $\Omega K(G,n)\cong K(G,n-1)$ 。此外，在闭路空间与既约纬悬之间还有伴随关系： $[\Sigma X,Y]=[X,\Omega Y]$ ，使 $[X,K(G,n)]\cong [X,\Omega ^{2}K(G,n+2)]$ 有阿贝尔群的结构，其中的运算是闭路的链接。这使得上面提到的双射 $[X,K(G,n)]\to H^{n}(X,G)$ 是群同构。

这个性质还意味着不同n的艾伦伯格–麦克莱恩空间构成Omega谱，称作艾伦伯格–麦克莱恩空间谱。这个谱通过 $X\mapsto h^{n}(X):=[X,K(G,n)]$ 定义了基于CW复形的既约上同调论，对任何CW复形上的既约上同调论 $h^{*}$ （ $h^{n}(S^{0})=0$ ， $n\neq 0$ ），有自然同构 $h^{n}(X)\cong {\tilde {H}}^{n}(X,h^{0}(S^{0})$ ，其中 ${\tilde {H^{*}}}$ 表示既约奇异上同调。因此，这两个上同调论重合。

在更广义的语境中，布朗可表性定理指出，基CW复形上的既约上同调论来自Omega谱。

与同调的关系

对给定阿贝尔群G，有稳定同伦群

\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))\cong \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge \Sigma K(G,n))\to \pi _{q+n+1}^{s}(X\wedge K(G,n+1))

上由映射 $\Sigma K(G,n)\to K(G,n+1)$ 导出的映射。取它们的直极限，可验证这在CW复形上定义了既约同调论

h_{q}(X)=\varinjlim _{n}\pi _{q+n}^{s}(X\wedge K(G,n))

由于 $h_{q}(S^{0})=\varinjlim \pi _{q+n}^{s}(K(G,n))$ （ $q\neq 0$ ）为零， $h_{*}$ 与CW复形上系数在G中的既约奇异同调 ${\tilde {H}}_{*}(\cdot ,G)$ 一致。

函子性

从上同调的万有系数定理可以看出，艾伦伯格–麦克莱恩空间是群的准函子，即对每个正整数n，若 $a\colon G\to G'$ 是阿贝尔群的任何同态，则有非空集

K(a,n)=\{[f]:f\colon K(G,n)\to K(G',n),H_{n}(f)=a\},

满足 $K(a\circ b,n)\supset K(a,n)\circ K(b,n){\text{ and }}1\in K(1,n),$

其中 $[f]$ 表示连续映射f、 $S\circ T:=\{s\circ t:s\in S,t\in T\}$ 的同伦类。

与波斯尼科夫/怀特海塔的关系

连通CW复形X都有波斯尼科夫塔，即空间的逆系：

\cdots \to X_{3}\xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\simeq K(\pi _{1}(X),1)

使对每个n都有：

有交换映射 $X\to X_{n}$ ，导出 $\pi _{i}$ （ $i\leq n$ ）上的同态；
$\pi _{i}(X_{n})=0$ （ $i>n$ ）；
映射 $X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}$ 是具有纤维 $K(\pi _{n}(X),n)$ 的纤维化。

对偶地，还有怀特海塔，是CW复形的序列：

\cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X

使对每个n都有：

映射 $X_{n}\to X$ 导出 $\pi _{i}$ （ $i>n$ ）上的同态；
$X_{n}$ 是n连通的；
映射 $X_{n}\to X_{n-1}$ 是具有纤维 $K(\pi _{n}(X),n-1)$ 的纤维化。

在塞尔谱序列的帮助下，可计算出球面的高阶同伦群。例如， $\pi _{4}(S^{3})$ 、 $\pi _{5}(S^{3})$ 用 $S^{3}$ 的怀特海塔，可见参考文献^[8]；更一般地说，使用波斯尼科夫系统的 $\pi _{n+i}(S^{n})\ i\leq 3$ 可见参考文献。 ^[9]

上同调运算

对不变的自然数m,n、阿贝尔群G,H ，存在所有上同调运算集 $\Theta :H^{m}(\cdot ,G)\to H^{n}(\cdot ,H)$ 与 $H^{n}(K(G,m),H)$ 之间的双射，定义为 $\Theta \mapsto \Theta (\alpha )$ （ $\alpha \in H^{m}(K(G,m),G)$ 是基本类）。

因此，上同调运算不能降低同调群的度，保度上同调运算对应系数同态 $\operatorname {Hom} (G,H)$ 。这源于上同调的万有系数定理与 $K(G,m)$ 的(n-1)连通性。

$G=H$ 是有限循环群时，上同调运算的一些有趣例子是斯廷罗德平方与幂。研究这些时，系数在 $\mathbb {Z} /p$ 中的 $K(\mathbb {Z} /p,n)$ 的上同调变得非常重要，^[10]有关这些组别的详细列表，请参此处。^[11]

群（上）同调

可以定义群G的系数在群A中的（上）同调为艾伦伯格–麦克莱恩空间 $K(G,1)$ 的奇异（上）同调，系数在A中。

进一步应用

上述闭路空间构造在弦论中用于得到弦群等等，如由短正合列

0\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow 0

产生的怀特海塔，其中 ${\text{String}}(n)$ 是弦群， ${\text{Spin}}(n)$ 是旋量群。 $K(\mathbb {Z} ,2)$ 的相关性在于存在分类空间 $B\mathbb {Z}$ （且 $K(\mathbb {Z} ,2)\simeq BU(1)$ ）的同伦等价关系

K(\mathbb {Z} ,1)\simeq U(1)\simeq B\mathbb {Z}

注意，由于复旋量群是群扩张

0\to K(\mathbb {Z} ,1)\to {\text{Spin}}^{\mathbb {C} }(n)\to {\text{Spin}}(n)\to 0

,

弦群在高阶群理论中可看做“高阶”复旋量群的扩张，因为空间 $K(\mathbb {Z} ,2)$ 就是高阶群的一个例子。它可看做是对象为单点、态射为群 $U(1)$ 的广群 $\mathbf {B} U(1)$ 的拓扑实现。由于这些同伦性质，这个构造可以推广：任何给定空间 $K(\mathbb {Z} ,n)$ 都可以用来启动一个短正合列，可在拓扑群中去除同伦群 $\pi _{n+1}$ 。