祖暅原理
祖
该原理最早由中国古代数学家刘徽提出[1]。南北朝时祖冲之儿子祖暅再次提出[3],两父子用这原理求出牟合方盖体积,进而算出球体积。17世纪欧洲意大利数学家卡瓦列里亦发现相同定理,所以西方文献一般称该原理为卡瓦列里原理[3][4]。
在现代的解析几何和测度应用中,祖暅原理是富比尼定理的一个特例。卡瓦列里没有对这条的严谨证明,只发表在1635年的Geometria indivisibilibus以及1647年的Exercitationes Geometricae,用以证明自己的Methode der Indivisibilien。以此方式可以计算某些立体的体积,甚至超越了阿基米德和开普勒的成绩。这定理引发了以面积计算体积的方法并成了积分发展的重要一步。
简单应用
圆柱体
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e1/Cylinder_geometry.svg/100px-Cylinder_geometry.svg.png)
如果垂直转轴切开圆柱体,设r为半径,可得到横切面积为的圆。根据祖暅原理,圆柱体积相等于底面积相等于圆面积、高h的长方体,所以半径r和高h的圆柱体积是。
半球体
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0c/Cavalieri_half-ball.svg/220px-Cavalieri_half-ball.svg.png)
从其中一层以垂直表面的高h横切半径为r的半球体,根据勾股定理,半径为
所以横切面积是
对照立体是个有与半球体相同横切面积和高的立体,中间有一圆锥体。高h的对照立体环形切面有内圆周h及外圆周r,其面积为
因此两个立体都满足祖暅原理并有相同体积。对照立体的体积就是圆柱体和圆锥体体积之差,所以
成功利用这条有名的方程计出半球体积,从而导出球体积公式。
微积分
![](http://images.weserv.nl/?url=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cc/Integral_difference_function.svg/220px-Integral_difference_function.svg.png)
祖暅原理背后概念常在微积分出现。作为维度的一个例子,因此两条方程在两交点间的面积可用以下方程获得:
实质上表示了函数f和g间的面积与函数图形下的相同,而后者的交点距离与前者相等。由于现代数学的积分和面积的互相关系,而体积可以微分计算,使祖暅原理变得更少用。
参考文献
- (英文) 伽利略计划:卡瓦列里 (页面存档备份,存于互联网档案馆)
- (英文) http://mathworld.wolfram.com/CavalierisPrinciple.html (页面存档备份,存于互联网档案馆)