正规扩张是抽象代数中的概念,属于域扩张中的一类。一个有限扩张L/K是正规扩张当且仅当扩域L是多项式环K[X]中的某个多项式的分裂域。布尔巴基学派将这类扩张称为“准伽罗瓦扩张”。正规扩张是代数扩张的一种。
定义
正规扩张的定义不止一种,以下三个准则都可以刻画正规扩张,是三个等价的定义。域扩张L/K是正规扩张当且仅当它满足以下三个等价条件中任意一个:
- L是多项式环K[X]中的某一族多项式的分裂域。
- 设Kalg是一个包含了L的K的代数闭包。对于L在Kalg上的每一个嵌入σ,只要它限制在K上的部分是平凡的(即为恒等映射:σ(x) = x),那么就有σ(L) = L。换句话说,L在Kalg上的每一个K-嵌入σ都是一个L上的K-自同构。
- 任意一个K[X]上的不可约多项式,只要它在L中有一个根,那么就可以在L[X]分解成一次因式的乘积(或者说全部的根都在L中)。
例子
是
的一个正规扩张,因为它是
上的多项式
的分裂域。然而,
并不是
的一个正规扩张,因为
上的不可约多项式
有一个根:
在
里面,但它的另外两个根:
和
都是复数,不在
里面。只有在加入了三次单位根:
后的扩域
才是一个正规扩张。
也可以用正规扩张的第二个定义来证明
不是
的正规扩张。设域
是由所有复代数数生成的扩域,则
是
的一个代数闭包,并且
在
里面。另一方面,
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dec92fd92a4fd23ee23cdb08abfa343c0dbae629)
并且,如果记
是
的复根之一,那么映射:
![{\displaystyle {\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83267e97dc85785197c55c9c6bdb205f8018e657)
是
在
上的一个嵌入,并且它限制在
上的部分是平凡的(将
中元素映射到自己)。但是σ并不是
上的自同构。
更一般地,对每一个素数p,域扩张
都是
的一个正规扩张,扩张的次数是p(p - 1)。
是
上的多项式
的分裂域。其中的
是任意一个复数p次单位根。
性质
设有域扩张L/K,那么:
- 如果L是K的正规扩张,并且F是一个子扩张(也就是说有扩张K⊂F⊂L)那么L也是F的正规扩张。
- 如果L的子域E和F都是K的正规扩张,那么两者的复合扩张EF(指L的子域中同时包含E和F的最小者)以及两者的交E∩F也都是K的正规扩张。
正规闭包
设有域扩张L/K,那么总存在域扩张M/L,使得M/K是正规扩张。在同构意义上,“最小”的这样的扩张是唯一。即是说,其他的域扩张N/L如果使得N/K是正规扩张,那么总存在N/L的子扩张M'/L,使得M'同构于M。这个唯一的“最小”正规扩张M/L称为域扩张L/K的正规闭包。
如果L/K是有限扩张,那么它的正规闭包M/L也是有限扩张(因此M/K也是有限扩张)。
参见
参考来源