复平面上的立方根等于1. 棣莫弗公式 是一个关于复数 和三角函数 的公式,命名自法国 数学家亚伯拉罕·棣莫弗 (1667年-1754年)。其内容为对任意实数
x
{\displaystyle x}
和整数
n
{\displaystyle n}
,下列性质成立:
(
cos
(
x
)
+
i
sin
(
x
)
)
n
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)}
其中
i
{\displaystyle i}
是虚数单位 (
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
)。值得注意的是,尽管本公式以棣莫弗本人命名,他从未直接地将其发表过[ 1] 。为了方便起见,我们常常将
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle \cos x+i\sin x}
合并为另一个三角函数cis (x ) ,也就是说:
cis
n
(
x
)
=
cis
(
n
x
)
{\displaystyle \operatorname {cis} ^{n}(x)=\operatorname {cis} (nx)}
在操作上,我们常常限制
x
{\displaystyle x}
属于实数 ,这样一来就可借由比较虚部与实部的方式把
cos
(
n
x
)
{\displaystyle \cos(nx)}
和
sin
(
n
x
)
{\displaystyle \sin(nx)}
变化为
cos
x
{\displaystyle \cos x}
和
sin
x
{\displaystyle \sin x}
的形式。另外,尽管棣莫弗公式限制
n
{\displaystyle n}
须为整数,但倘若适当推广本公式,便可将
n
{\displaystyle n}
拓展到非整数的领域。
证明
(证明的思路是用数学归纳法 证明正整数的情形,并推广到负整数。)
令
P
(
n
)
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
n
=
cos
(
n
θ
)
+
i
sin
(
n
θ
)
,
n
∈
N
{\displaystyle P(n)=(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}=\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ),n\in \mathbb {N} }
(1)当
n
=
0
{\displaystyle n=0}
时,显然成立。
(2)当
n
=
1
{\displaystyle n=1}
时:
左式
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
1
=
cos
θ
+
i
sin
θ
=
cos
(
1
⋅
θ
)
+
i
sin
(
1
⋅
θ
)
=
{\displaystyle =(\cos \theta +i\sin \theta )^{1}=\cos \theta +i\sin \theta =\cos(1\cdot \theta )+i\sin(1\cdot \theta )=}
右式
因此,
P
(
1
)
{\displaystyle P(1)}
成立。
(3)当
n
>
1
{\displaystyle n>1}
时:
假设
P
(
k
)
{\displaystyle P(k)}
成立,即
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
k
=
cos
(
k
θ
)
+
i
sin
(
k
θ
)
{\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos(k\theta )+i\sin(k\theta )}
当
n
=
k
+
1
{\displaystyle n=k+1}
时:
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
k
+
1
=
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
k
⋅
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
(
cos
k
θ
+
i
sin
k
θ
)
⋅
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
=
(
cos
k
θ
⋅
cos
θ
+
i
sin
k
θ
⋅
i
sin
θ
)
+
(
cos
k
θ
⋅
i
sin
θ
+
i
sin
k
θ
⋅
cos
θ
)
=
(
cos
k
θ
⋅
cos
θ
−
sin
k
θ
⋅
sin
θ
)
+
i
(
cos
k
θ
⋅
sin
θ
+
sin
k
θ
⋅
cos
θ
)
=
1
cos
(
k
θ
+
θ
)
+
i
sin
(
k
θ
+
θ
)
=
cos
[
(
k
+
1
)
θ
]
+
i
sin
[
(
k
+
1
)
θ
]
{\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta +i\sin \theta )^{k+1}&=(\cos \theta +i\sin \theta )^{k}\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta +i\sin k\theta )\cdot (\cos \theta +i\sin \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta +i\sin k\theta \cdot i\sin \theta )+(\cos k\theta \cdot i\sin \theta +i\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&=(\cos k\theta \cdot \cos \theta -\sin k\theta \cdot \sin \theta )+i(\cos k\theta \cdot \sin \theta +\sin k\theta \cdot \cos \theta )\\&\ {\overset {1}{=}}\cos(k\theta +\theta )+i\sin(k\theta +\theta )\\&\ =\cos[(k+1)\theta ]+i\sin[(k+1)\theta ]\\\end{aligned}}}
等号1处使用和角公式 。
因此,
P
(
k
+
1
)
{\displaystyle P(k+1)}
也成立。
综上所述,根据数学归纳法,
∀
n
∈
N
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }
,
P
(
n
)
{\displaystyle P(n)}
成立。
另外,由恒等式:
(
cos
(
n
θ
)
+
i
sin
(
n
θ
)
)
⋅
(
cos
(
−
n
θ
)
+
i
sin
(
−
n
θ
)
)
=
1
{\displaystyle (\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))\cdot (\cos(-n\theta )+i\sin(-n\theta ))=1}
可知,公式对于负整数情况也成立。
证毕。
检验
最简单的方法是应用欧拉公式 [ 2] 。
由于
e
i
x
=
cos
x
+
i
sin
x
{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\,}
所以
(
cos
x
+
i
sin
x
)
n
=
(
e
i
x
)
n
=
e
i
n
x
=
e
i
(
n
x
)
=
cos
(
n
x
)
+
i
sin
(
n
x
)
{\displaystyle {\color {Green}(\cos x+i\sin x)^{n}}=(e^{ix})^{n}=e^{inx}=e^{i(nx)}={\color {Green}\cos(nx)+i\sin(nx)}}
用棣莫弗公式求根
此定理可用来求单位复数的
n
{\displaystyle n}
次方根。设
|
z
|
=
1
{\displaystyle |z|=1}
,表为
z
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle z=\cos \theta +i\sin \theta }
若
w
n
=
z
{\displaystyle w^{n}=z}
,则
w
{\displaystyle w}
也可以表成:
w
=
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
{\displaystyle w=\cos \phi +i\sin \phi }
按照棣莫弗公式:
w
n
=
(
cos
ϕ
+
i
sin
ϕ
)
n
=
cos
n
ϕ
+
i
sin
n
ϕ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
=
z
{\displaystyle w^{n}=(\cos \phi +i\sin \phi )^{n}=\cos n\phi +i\sin n\phi =\cos \theta +i\sin \theta =z}
于是得到
n
ϕ
=
θ
+
2
k
π
{\displaystyle n\phi =\theta +2k\pi }
(其中
k
∈
Z
{\displaystyle k\in \mathbb {Z} }
)
也就是:
ϕ
=
θ
+
2
k
π
n
{\displaystyle \phi ={\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}}
当
k
{\displaystyle k}
取
0
,
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle 0,1,\ldots ,n-1}
,我们得到
n
{\displaystyle n}
个不同的根:
w
=
cos
(
θ
+
2
k
π
n
)
+
i
sin
(
θ
+
2
k
π
n
)
,
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle w=\cos({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}})+i\sin({\dfrac {\theta +2k\pi }{n}}),k=0,1,\ldots ,n-1}
参考资料
^ Lial, Margaret L.; Hornsby, John; Schneider, David I.; Callie J., Daniels. College Algebra and Trigonometry 4th. Boston: Pearson/Addison Wesley. 2008: 792. ISBN 9780321497444 .
^ 林琦焜. 棣美弗定理與 Euler 公式 (PDF) . 中央研究院 . 2006-12-22 [2017-06-18 ] . (原始内容存档 (PDF) 于2021-01-19).