小群列表

下面的数学列表包含着以群同构来分之小阶有限群。

这个列表可以被用来决定一个给定的有限群G会同构于哪一种群：首先确定G的阶，然后再找下面列表中有相同阶的候选群。若知道G为可换与否，某些的候选群便可以立刻被删掉。为了分别剩下的候选群，可以看给定之群内每个元素的阶，并对照候选群内每个元素的阶。

术语

• Z_n：其阶为n之循环群(通常C_n或Z/nZ之符号也会被使用)。
• Dih_n：其阶为2n的二面体群(通常D_n之符号也会被使用，有时则会用D_2n)。
• S_n：n阶的对称群，包含有n!个n个元素的置换。
• A_n：n阶的交错群，包含有n!/2个n个元素的偶置换。
• Dic_n：其阶为4n的双循环群。

Z_n和Dih_n之符号在三维点群C_n和D_n中有着没有相同符号的优点。其存在着多于此两类的等距同构群，但这些都有着相同的抽象群类型。

符号G × H表示是两个群的直积。阿贝尔群和简单群会加上注释(对小于60阶之群，简单群会恰好是循环群Z_n，其中的n为质数。)下面会以等号(=)来标注同构。

环图内的单位元素会以黑圆圈来表示。图环不能唯一地表示一个群之最小阶为16。

下面列表中的子群，当然群和群自身并不会被列出来。

小非可换群的列表

另见小阿贝尔群列表和下面合并的列表。

注意如“3×Z₂”之标记表示其有3个Z₂类型的子群(而不是Z₂的一个左陪集)，而其他地方里的×则表示直积。

阶	群	子群	性质	环图
6	S3 = Dih3	Z3 , 3 × Z2	最小的非可换群
8	Dih4	Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2	非可换
	四元群, Q8 = Dic2	3 × Z4 , Z2	非可换；最小的汉弥尔顿群
10	Dih5	Z5 , 5 × Z2	非可换
12	Dih6 = Dih3 × Z2	Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2	非可换
	A4	Z22, 4 × Z3, 3 × Z2	非可换；最小确定拉格朗日定理之相反叙述不是对的群：没有6阶的子群
	Dic3 = Z3和Z4的半直积，其中Z4以反演作用于Z3上	Z2, Z3, 3 × Z4, Z6	非可换
14	Dih7	Z7 , 7 × Z2	非可换
16	Dih8	Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2	非可换
	Dih4 × Z2	2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z23, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2	非可换
	广义四元群, Q16 = Dic4		非可换
	Q8 × Z2		非可换、汉弥尔顿群	wrong
	16阶之拟二面体群		非可换
	16阶之模群		非可换
	Z4和Z4的半直和，其中一个以反演作用在另一个上		非可换
	由泡利矩阵产生的群		非可换
	G4,4		非可换

合并列表

阶	群	子群	性质	环图
1	平凡群 = Z1 = S1 = A2	-	平凡、循环、交错、对称、初等
2	Z2 = S2 = Dih1	-	可换、简单、最小非当然群
3	Z3 = A3	-	可换、简单
4	Z4	Z2	可换
	克莱因四元群 = Z2 × Z2 = Dih2	3 × Z2	可换、最小非循环群
5	Z5	-	可换、简单
6	Z6 = Z2 × Z3	Z2 , Z3	可换
	S3 = Dih3	Z3 , 3 × Z2	最小非可换群
7	Z7	-	可换、简单
8	Z8	Z4 , Z2	可换
	Z2 ×Z4	2 × Z4 , 3 ×Z2 , Dih2	可换
	Z2 × Z2 × Z2 = Dih2 × Z2	7 × Z2 × Z2 , 7 × Z2	可换
	Dih4	Z4, 2 × Dih2 , 5 × Z2	非可换
	四元群, Q8 = Dic2	3 × Z4 , Z2	非可换、最小汉弥尔顿群
9	Z9	Z3	可换
	Z3 × Z3	4 × Z3	可换
10	Z10 = Z2 × Z5	Z5 , Z2	可换
	Dih5	Z5 , 5 × Z2	非可换
11	Z11	-	可换、简单
12	Z12 = Z4 × Z3	Z6 , Z4 , Z3 , Z2	可换
	Z2 × Z6 = Z2 × Z2 × Z3 = Dih2 × Z3	3 × Z6, Z3, Dih2, 3 × Z2	可换
	Dih6 = Dih3 × Z2	Z6 , 2 × Dih3 , 3 × Dih2 , Z3 , 7 × Z2	非可换
	A4	Z22, 4 × Z3, 3 × Z2	非可换；最小确定拉格朗日定理之相反叙述不是对的群：没有6阶的子群
	Dic3 = Z3和Z4的半直积，其中Z4以反演作用于Z3上	Z2, Z3, 3 × Z4, Z6	非可换
13	Z13	-	可换、简单
14	Z14 = Z2 × Z7	Z7 , Z2	可换
	Dih7	Z7 , 7 × Z2	非可换
15	Z15 = Z3 × Z5	Z5 , Z3	可换
16	Z16	Z8 , Z4 , Z2	可换
	Z24	15 × Z2, 35 × Dih2, 15 × Z23	可换
	Z4 × Z22	7 × Z2, 4 × Z4, 7 × Dih2, Z23, 6 × Z4 × Z2	可换
	Z8 × Z2	3 × Z2, 2 × Z4, Dih2, 2 × Z8, Z4 × Z2	可换
	Z42	3 × Z2, 6 × Z4, Dih2, 3 × Z4 × Z2	可换
	Dih8	Z8 , 2 × Dih4 , 4 × Dih2 , Z4 , 9 × Z2	非可换
	Dih4 × Z2	2 × Dih4 , Z4 × Z2 , 2 × Z23, 7 × Z22 , 2 × Z4 , 11 × Z2	非可换
	广义四元群, Q16 = Dic4		非可换
	Q8 × Z2		非可换、汉弥尔顿群	wrong
	16阶之拟二面体群		非可换
	16阶之模群		非可换
	Z4和Z4的半直和，其中一个以反演作用在另一个上		非可换
	由泡利矩阵产生的群		非可换
	G4,4		非可换

小群图书馆

群论电脑代数系统GAP包含着描述了“小”阶之群的“小群图书馆”。这些群以同构为分列出。现在，这个图书馆已包含了下列个群：

• 至多2000阶的群，除了1024阶的(423 164 062个群)；
• 5⁵阶和7⁴阶的群(92个群)；
• qⁿ×p阶的群，其中qⁿ整除2⁸、3⁶、5⁵或7⁴且p为不同于q的任意质数；
• 因式分解成至多3个质数的群。

它包含着上述的群以电脑上可读形式显示之详尽描述。

这个图书馆由Hans Ulrich Besche、Bettina Eick和Eamonn O'Brien所建构及准备；见http://www.tu-bs.de/~hubesche/small.html。

另见

• 小拉丁方阵和拟群

外部链接

• 小群（页面存档备份，存于互联网档案馆）