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四顶点定理

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四顶点定理微分几何关于平面曲线的整体性质的定理。这定理指出,一条简单闭曲线曲率函数,如果不是常值,便有至少四个局部极值。更确切地说,这函数有至少两个局部极大值和两个局部极小值。

1909年斯亚马达斯·穆科帕迪亚亚最先证明这定理对凸曲线(即有严格正曲率)成立。他的证明用到了以下结果:曲线上一点的曲率是极值,当且仅当在该点的密切圆与曲线有4点切触。(密切圆与曲线一般只有3点切触。)1912年阿道夫·克内泽尔证明了定理在一般情况成立。

四顶点定理的逆定理指,在圆上定义任意连续实值函数,使得有两个局部极大值和两个局部极小值,那么这函数是一条简单平面闭曲线的曲率函数。1971年赫尔曼·格卢克证出严格正函数的情形。他证明在n维球面预先定义曲率的更一般定理,以上结果是其特例。比约恩·达尔贝里在他1998年1月去世前不久,证明逆定理的完整版本。他的证法用到卷绕数,类似代数基本定理的拓扑证明。

这定理的一个推论是,任何在平面上滚动受重力作用的均匀板,都有至少四个平衡点。它的三维推广并不容易,实际上,存在少于四个平衡点的三维凸均匀体,见Gömböc

参考

  • Mukhopadhyaya, S. (1909). "New methods in the geometry of a plane arc". Bull. Calcutta Math. Soc. 1: 21-27.
  • Kneser, Adolf (1912). "Bemerkungen uber die Anzahl der Extrema des Krummung auf geschlossenen Kurven und uber verwandte Fragen in einer nicht eucklidischen Geometrie". Festschrift Heinrich Weber: 170-180, Teubner.
  • Gluck, Herman (1971). "The converse to the four-vertex theorem". L'Enseignement Math. 17: 295-309.
  • Dahlberg, Björn (2005). "The converse of the four vertex theorem". Proc. Amer. Math. Soc. 133 (7): 2131-2135.