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四维力

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四维力(英语:four-force)是古典力学中的物理量在相对论中对应的四维版本。

狭义相对论的定义

设有一不变质量m的粒子(m > 0),其四维动量

其中四维速度c为光速,乃是寻常概念中的三维空间速度

而四维力的定义则为四维动量对粒子原时微分

牛顿第二定律扩充,我们可以将四维力与四维加速度作关联:

.

在这里可得如下关系式:

以及

上述为三维向量,分别描述粒子的速度动量与作用力。

广义相对论的调整

广义相对论中,四维力与四维加速度的关系式不变,然而四维力与四维动量的关系则需从对原时的一般导数改成协变导数

此外,我们亦可透过座标转换的观念来推导不同座标系之间的力。设有一座标系而粒子在此座标系中暂时静止,假设我们知道的力的正确表示式,则我们可以透过座标转换得到另一个座标系中的力的表示式。[1]在狭义相对论中,这个座标变换是劳仑兹变换;在广义相对论中,则是广义座标变换。

考虑四维力作用在一质量为的粒子,此粒子在一座标系统中暂时静止。

相对论中的力在另个以固定相对速度的座标系中遵守劳仑兹变换

其中为速度除以光速

广义相对论中,四维力表示式变成:

其中协变导数运动方程式变成:

其中克里斯多福符号。若无外加力,则变成弯曲时空中的测地线方程式。上式中的第二项所扮演的角色是重力场所造成的“力”。

自由落体参考系之中力的正确表示式,我们可以使用等效原理来描写任意座标系之中的四维力:

案例

狭义相对论中,四维劳仑兹力电磁场对带粒子作用的四维力)可以表示为:

其中

  • 电磁张量
  • 为电荷。
  • 四维速度

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参考文献

延伸阅读