P进赋值

在数论上，一个整数n的p进赋值指的是能除尽n的质数p的最高次方，一般记做$\nu _{p}(n)$。一个等价的定义是，$\nu _{p}(n)$是n的质因数分解中p的次方数。

p进赋值是一个赋值，且其赋值可作为常规绝对值的类比。就如常规绝对值是有理数在实数$\mathbb {R}$中的完备化一般，p进绝对值是有理数在P进数$\mathbb {Q} _{p}$.

自然数在2进赋值中的分布，并加上十进制中的2的次方做标签；0的赋值为无限。

定义与性质

以下假定p为质数。

整数

整数n的p进赋值定义如下：

$\nu _{p}(n)={\begin{cases}\mathrm {max} \{k\in \mathbb {N} :p^{k}\mid n\}&{\text{if }}n\neq 0\\\infty &{\text{if }}n=0,\end{cases}}$

其中$\mathbb {N}$是自然数的集合，而$m\mid n$代表$n$可被$m$整除。特别地，$\nu _{p}$的定义域及值域如次：$\nu _{p}\colon \mathbb {Z} \to \mathbb {N} \cup \{\infty \}$.

像例如说，$\nu _{2}(-12)=2$, $\nu _{3}(-12)=1$，而$\nu _{5}(-12)=0$ since $|{-12}|=12=2^{2}\cdot 3^{1}\cdot 5^{0}$。

$p^{k}\parallel n$这符号有时用以表示$k=\nu _{p}(n)$。

若$n$是一个正整数，那么有

$\nu _{p}(n)\leq \log _{p}n$

而这可由$n\geq p^{\nu _{p}(n)}$直接推得。

有理数

p进赋值可以下述函数的形式延伸到有理数上：

$\nu _{p}:\mathbb {Q} \to \mathbb {Z} \cup \{\infty \}$

其定义如下：

$\nu _{p}\left({\frac {r}{s}}\right)=\nu _{p}(r)-\nu _{p}(s)$

像例如说，$\nu _{2}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=-3$且$\nu _{3}{\bigl (}{\tfrac {9}{8}}{\bigr )}=2$，而这是因为${\tfrac {9}{8}}=2^{-3}\cdot 3^{2}$之故。

有理数上的赋值其中一些性质如下：

$\nu _{p}(r\cdot s)=\nu _{p}(r)+\nu _{p}(s)$

$\nu _{p}(r+s)\geq \min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

此外，若$\nu _{p}(r)\neq \nu _{p}(s)$，那么

$\nu _{p}(r+s)=\min {\bigl \{}\nu _{p}(r),\nu _{p}(s){\bigr \}}$

其中$\min$是最小值（也就是两者中较小者）。

p进绝对值

有理数集$\mathbb {Q}$的p进绝对值定义如下：

$|\cdot |_{p}\colon \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

而其定义为

$|r|_{p}=p^{-\nu _{p}(r)}.$

因此对所有的$p$而言，$|0|_{p}=p^{-\infty }=0$；而一个p进绝对值的例子如次：$|{-12}|_{2}=2^{-2}={\tfrac {1}{4}}$ and ${\bigl |}{\tfrac {9}{8}}{\bigr |}_{2}=2^{-(-3)}=8$

p进绝对值满足下列性质：

非负性	$|r|_{p}\geq 0$
正定性	$|r|_{p}=0\iff r=0$
积性	$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$
非阿基米德性	$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$

由积性$|rs|_{p}=|r|_{p}|s|_{p}$可知，对于单位根$1$和$-1$而言，$|1|_{p}=1=|-1|_{p}$，因此这表示说$|{-r}|_{p}=|r|_{p}$；而次可加性$|r+s|_{p}\leq |r|_{p}+|s|_{p}$可由非阿基米德三角不等式$|r+s|_{p}\leq \max \left(|r|_{p},|s|_{p}\right)$得出。

对$p^{-\nu _{p}(r)}$这个幂的基底p的选取不会影响其性质；然而有以下的性质：

$\prod _{0,p}|r|_{p}=1$

其中此乘积遍历所有的质数p及常规绝对值，而此处常规绝对值记做$|r|_{0}$。

这项可由质因数分解得出：质因数的幂$p^{k}$会成为相对应的p进绝对值的倒数；而将之乘以常规绝对值后，这些倒数项会被消去。

一些人可能会将p进绝对值给称为“p进范数”；然而因其不满足齐次性之故，因此并非真正的范数。

一个度量空间可用如下（非阿基米德且平移对称的）度量由$\mathbb {Q}$生成：

$d\colon \mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \to \mathbb {R} _{\geq 0}$

其定义为

$d(r,s)=|r-s|_{p}.$

以此度量对有理数$\mathbb {Q}$所做的完备化即p进数的集合$\mathbb {Q} _{p}$。

参见

• p进数
• 阿基米德公理
• 重复度
• 奥斯特洛夫斯基定理
• 勒让德定理