在流体动力学上,开尔文环流定理(英语:Kelvin's circulation theorem,由第一代开尔文男爵威廉·汤姆森于1869年发表[1],因此以他命名)描述在彻体力保守的正压理想流体中闭合曲线(包围相同的流体元)的环量在流体运动时并不会随时间而改变[2]。其数学描述为
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf4d5e697ca2bc0e4916c1aec143b40b36eecc3)
其中
为材料围线
的环流。用更简单的话来说,这条定理所指的是,若观察闭合围线并注意它一段时间(注意所有流体元的运动)的话,则始终两者间的环流相等。
本定理在有黏性应力、非保守彻体力(例如科里奥利力)或非正压的压力-密度关系的情况下并不成立。
数学证明
材料围线
的环流
的定义为:
![{\displaystyle \Gamma (t)=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45bd3059c740301a3faf535621acac1250c9155d)
其中u为速度矢量,ds为沿着闭合围线的单元。
彻体力保守的非黏性流体的主宰方程为
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}=-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa315d017db63e9287b006b139696ef5a5696a2f)
其中D/Dt为实质导数,ρ为流体密度,p为密度,以及Φ为彻体力的势。上式为带彻体力的欧拉方程。
正压性条件意味着密度是压力的函数,且为其唯一自变量,即
。
取环流的实质导数,得:
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}+\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afdb059db7331c5bc10ece5f3381d74787156ff0)
把主宰方程代入第一项并使用斯托克斯定理,得:
![{\displaystyle \oint _{C}{\frac {\mathrm {D} {\boldsymbol {u}}}{\mathrm {D} t}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=\int _{A}{\boldsymbol {\nabla }}\times \left(-{\frac {1}{\rho }}{\boldsymbol {\nabla }}p+{\boldsymbol {\nabla }}\Phi \right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=\int _{A}{\frac {1}{\rho ^{2}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\rho \times {\boldsymbol {\nabla }}p\right)\cdot {\boldsymbol {n}}\,\mathrm {d} S=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3d77d24a011dada3138638b6453867890937ca)
最后的等式是源自
,它是正压性的结果。同时亦使用了任何函数
的梯度的旋度皆为零这一事实
。
已知材料线元的时间进化由下式给出(可由实质导数的定义求得)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dbb94a4721443ce95c7432fb96b75f43c037c9d)
因此
![{\displaystyle \oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot {\frac {\mathrm {D} \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}}{\mathrm {D} t}}=\oint _{C}{\boldsymbol {u}}\cdot \left(\mathrm {d} {\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\right){\boldsymbol {u}}={\frac {1}{2}}\oint _{C}{\boldsymbol {\nabla }}\left(|{\boldsymbol {u}}|^{2}\right)\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {s}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba28ba841abd8a77dac2ac348c873a7989dc9093)
使用交换律后再使用
。而最后的等式则使用了斯托克斯定理。
由于第一项及第二项皆为零,得
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \Gamma }{\mathrm {D} t}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cf4d5e697ca2bc0e4916c1aec143b40b36eecc3)
参见
参考资料
- ^ Sir W. Thomson. On Vortex Motion. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 1869, 25: 217–260.
- ^ Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002