指数分布 的累积分布函数
常态分布 的累积分布函数
累积分布函数 (英语:cumulative distribution function ,CDF)或概率分布函数 ,简称分布函数 ,是概率密度函数 的积分,能完整描述一个实随机变量
X
{\displaystyle X}
的概率分布 。
在标量连续分布 的情况下,它给出了从负无穷到
x
{\displaystyle x}
的概率密度函数 下的面积。 累积分布函数 也用于指定多元随机变量 的分布。
定义
对于所有实数 值的随机变量
X
{\displaystyle X}
,累积分布函数定义如下[ 1] :p. 77 :
F
X
(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}
Eq.1
其中右侧表示随机变量
x
{\displaystyle x}
取值小于或等于
x
{\displaystyle x}
的概率 。
对于
X
{\displaystyle X}
位于半闭区间
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
的概率,其中
a
<
b
{\displaystyle a<b}
,因此定义是[ 1] :p. 84 :
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
Eq.2
在上面的定义中,“小于或等于”符号“≤”是一种约定,不是普遍使用的(例如匈牙利文献使用“<”),但这种区别对于离散分布很重要。二项式分布 和泊松分布 的表格的正确使用取决于此约定。此外,像数学家保罗·皮埃尔·莱维 (Paul Lévy)的特征函数 反演公式等重要公式也依赖于“小于或等于”公式。
性质
有界性 [ 2]
lim
x
→
−
∞
F
X
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0}
lim
x
→
+
∞
F
X
(
x
)
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1}
单调性 :
F
X
(
x
1
)
≤
F
X
(
x
2
)
,
if
x
1
<
x
2
{\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2}),\ {\mbox{if}}\,x_{1}<x_{2}}
右连续 性:
lim
x
→
x
0
+
F
X
(
x
)
=
F
X
(
x
0
)
{\displaystyle \lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}F_{X}(x)=F_{X}(x_{0})}
X
{\displaystyle X}
之值落在一区间
(
a
,
b
]
{\displaystyle (a,b]}
之内的概率为
P
(
a
<
X
≤
b
)
=
F
X
(
b
)
−
F
X
(
a
)
{\displaystyle \operatorname {P} (a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)}
一随机变量
X
{\displaystyle X}
的CDF与其PDF的关系为
F
X
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
t
)
d
t
{\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,dt}
反函数
若累积分布函数
F
{\displaystyle F}
是连续的严格增函数,则存在其反函数
F
−
1
(
y
)
,
y
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle F^{-1}(y),y\in [0,1]}
。累积分布函数的反函数可以用来生成服从该随机分布的随机变量。设若
F
X
(
x
)
{\displaystyle F_{X}(x)}
是概率分布
X
{\displaystyle X}
的累积分布函数,并存在反函数
F
X
−
1
{\displaystyle F_{X}^{-1}}
。若
a
{\displaystyle a}
是
[
0
,
1
)
{\displaystyle [0,1)}
区间上均匀分布的随机变量,则
F
X
−
1
(
a
)
{\displaystyle F_{X}^{-1}(a)}
服从
X
{\displaystyle X}
分布。
互补累积分布函数
互补累积分布函数(complementary cumulative distribution function、CCDF),是对连续函数,所有大于
a
{\displaystyle a}
的值,其出现概率的和。
F
(
a
)
=
P
(
x
>
a
)
{\displaystyle F(a)=P(x>a)}
参见
参考
^ 1.0 1.1 Park, Kun Il. Fundamentals of Probability and Stochastic Processes with Applications to Communications. Springer. 2018. ISBN 978-3-319-68074-3 .
^ 《概率论与数理统计教程》茆诗松 程依明 濮晓龙