在范畴论中,正合函子(或译作恰当函子)是保存有限极限的函子。在阿贝尔范畴中,这就相当于保存正合序列的函子。
阿贝尔范畴间的正合函子
设
为阿贝尔范畴,
为加法函子。若对每个正合序列
![{\displaystyle \cdots \longrightarrow X_{i}\longrightarrow X_{i-1}\longrightarrow \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868dfe9c8d9bf6d529edeea9b9ed5347fe07bcfa)
取
后得到的序列
![{\displaystyle \cdots \longrightarrow F(X_{i})\longrightarrow F(X_{i-1})\longrightarrow \cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0524defe992a310f5da060075f655627f63e55)
仍为正合序列,则称
为正合函子。
由于正合序列总能拆解为短正合序列,在定义中仅须考虑短正合序列即可。
此外,若对每个短正合序列
,其像截去尾端零对象后
为正合序列,则称
是左正合函子;类似地,若
为正合序列,则称
是右正合函子。正合性等价于左正合性+右正合性。
一般范畴中的正合函子
考虑一个函子
。
- 若
里存在任意的有限射影极限,且
与有限射影极限交换(即:
),则称
为左正合。
- 若
里存在任意的有限归纳极限,且
与有限归纳极限交换(即:
),则称
为右正合。
- 若上述条件同时被满足,则称
为正合。
在阿贝尔范畴中,由于任意有限射影(或归纳)极限可以由核(或上核)与有限积(或上积)生成,此时的定义遂回归到正合序列的定义。
例子
- 根据极限的泛性质,
函子无论对哪个变数都是左正合的,这是左正合函子的基本例子。
- 设
是一对伴随函子。若
存在任意有限归纳极限,则
右正合;若存在任意有限射影极限,
左正合。此法可建立许多函子的正合性。
- 设
为拓扑空间,阿贝尔群数学范畴上的整体截面函子
是左正合函子。
- 设
为环,
为右
-模,则左
-模范畴上的张量积函子
是右正合函子。
- 设
为两个阿贝尔范畴,考虑函子范畴
,固定一对象
,对
的“求值”是正合函子。
文献
- Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490