杨氏不等式

在数学上，杨氏不等式，指出：假设$a$, $b$, $p$和$q$是正实数 ，且有${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1$，那么：

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.$

等号成立当且仅当$a^{p}=b^{q}$ ，因为这时$ab=a(b^{q})^{1 \over q}=aa^{p \over q}=a^{p}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$。

杨氏不等式是加权算术－几何平均值不等式的特例，也是证明赫尔德不等式的一个快捷方法。该不等式以威廉·亨利·杨命名。

证明

我们知道函数$f(x)=e^{x}$是一个凸函数， 因为它的二阶导数恒为正。 从而我们有：

$ab=e^{\ln(a)}e^{\ln(b)}=e^{{1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})}\leq {1 \over p}e^{\ln(a^{p})}+{1 \over q}e^{\ln(b^{q})}={a^{p} \over p}+{b^{q} \over q}$

这里我们使用了凸函数的一个性质：对任意 $t$ ，若 $0<t<1$，则有：

$f(tx+(1-t)y)\leq tf(x)+(1-t)f(y)$

推广

设$\phi :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$是一个连续、严格递增函数且 $\phi (0)=0$ 。那么下面的不等式成立：

$ab\leq \int _{0}^{a}\phi (x)dx+\int _{0}^{b}\phi ^{-1}(y)dy$

观察$\phi (x)$的图形，很容易看出这个不等式的一个直观证明：以上两个积分式所表示的区域之和比由$a$和$b$组成的矩形的面积大。

参考来源

• 邢家省. Young不等式在Lp空间中的应用. 聊城大学学报（自然科学版）. 2007年 第3期, 第20卷. ISSN 1672-6634(2007)03-0019-04 . 
• 张愿章. Young不等式的证明及应用. 河南科学. 2004年 第01期, 第22卷. ISSN 1004-3918(2004)01-0023-07 .