最佳投影方程(optimal projection equations)[1][2][3]是控制理论中,建构局部最佳降阶LQG控制器的充分必要条件[4]。
LQG控制(线性二次高斯控制)问题是最优控制领域中最基础的问题之一,这问题包括了存在不确定性的线性系统,受到加性高斯白噪声的影响,没有完整的状态资讯(无法量测到所有的状态变数,也无法透过回授得知),对应二次的成本泛函。不过存在唯一解,而且可以建构线性动态回授的控制律,易于计算以及实现。而LQG控制器也是非线性系统中最佳扰动控制的基础[5]。
LQG控制器的架构会类似要控制的系统,两者会有相同的维度。因此若系统本身就是高维度,要实现(全阶)LQG控制器会很困难。降阶LQG问题(固定阶LQG问题)事先固定LQG控制器的阶数,因此克服了这个困难。不过在全阶LQG控制器中适用的分离原理,在降阶LQG问题中已无法适用,因此这方面会更困难,而且其解也不唯一。不过可以找到数值分析的算法[4][6][7][8]来求解对应的最佳投影方程。
问题的数学表示以及其解
连续时间
降阶的LQG控制问题几乎和全阶的LQG控制问题相同。令
表示降阶LQG控制器的状态,唯一的差异是LQG控制器的状态维度
是事先定义好的值,比受控系统的状态维度
要少。
降阶LQG控制器可以表示为下式:
![{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=A_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+B_{r}(t){\mathbf {u} }(t)+K_{r}(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3456bc1211267c302e2ffa517935113e69563e28)
![{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62ff11275458baa810d2846c3aa4d885da1960ce)
上述公式刻意写的类似传统全阶LQG控制器的形式,降阶的LQG控制问题也可以改写为下式:
![{\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}_{r}(t)=F_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t)+K_{r}(t){\mathbf {y} }(t),{\hat {\mathbf {x} }}_{r}(0)={\mathbf {x} }_{r}(0),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edea50c6e234c5f9e123086aa4cdc9486b00d547)
![{\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-L_{r}(t){\hat {\mathbf {x} }}_{r}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f770cb69f5b325302e5dca8c1f9d8285325203d)
其中
![{\displaystyle F_{r}(t)=A_{r}(t)-B_{r}(t)L_{r}(t)-K_{r}(t)C_{r}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd020adb24adaf52927b6a4e0e8d7f57e52828b3)
降阶LQG控制器的矩阵
和
是由所谓的最佳投影方程(optimal projection equations、OPE)来决定[3]。
维的最佳投影方阵
是OPE的核心。此矩阵的秩在所有状态下几乎都等于
。相关投影为斜投影(oblique projection):
。最佳投影方程包括四个矩阵微分方程。前二个是LQG控制器对应的矩阵Riccati微分方程的扩展。在方程式中
表示
,而
为
维的单位矩阵
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {P}}(t)={}&A(t)P(t)+P(t)A'(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t)\\[6pt]&{}+\tau _{\perp }(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t)\tau '_{\perp }(t),\\[6pt]P(0)={}&E\left({\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }'(0)\right),\\[6pt]&{}-{\dot {S}}(t)=A'(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)+Q(t)\\[6pt]&{}+\tau '_{\perp }(t)S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\tau _{\perp }(t),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78427fd12c675f686999ba90ae076cb79b5b33c9)
![{\displaystyle S(T)=F.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e4ae481a23e876122cdae97c484b24e4dc3ad77)
若LQG的维度没有减少,也就是
,则
,上述二个方程就是二个没有耦合的矩阵Riccati微分方程,对应全阶的LQG控制器。若
,则两个方程会有斜投影项
。这也是为何降阶的LQG控制器无法分离的原因,斜投影
是由另外二个矩阵微分方程所决定,其中也和秩的条件(rank conditions)有关。这四个矩阵微分方程组成了最佳投影方程。为了要列出另外二个矩阵微分方程,先定义以下二个矩阵:
![{\displaystyle {}+P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)P(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5424257e34626b4c453050935cd0eb155fab4c6d)
![{\displaystyle {}+S(t)B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28914aa81819257faf0f9a36f1fab3fb6aa0e0f8)
则最后二个矩阵微分方程如下:
almost everywhere,
almost everywhere,
其中
![{\displaystyle \tau (t)={\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\left({\hat {P}}(t){\hat {S}}(t)\right)^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21df963ed385186f1ccd953d5d758de7bce5f99a)
此处的 * 表示群广义逆矩阵(group generalized inverse)或Drazin逆矩阵,是唯一的,定义如下
![{\displaystyle A^{*}=A(A^{3})^{+}A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/385fe3e35f1faed047ac1578be42eb1b2de5fae5)
其中 + 是摩尔-彭若斯广义逆.
矩阵
都需要是非负对称矩阵。可以建构最佳投影方程的解,而此解可以决定降阶LQG控制器矩阵
和
:
![{\displaystyle F_{r}(t)=H(t)\left(A(t)-P(t)C'(t)W^{-1}(t)C(t)-B(t)R^{-1}(t)B'(t)S(t)\right)G(t)+{\dot {H}}(t)G'(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d299d017ed9b88216ae6bfbc44565ed2682fe3a)
![{\displaystyle K_{r}(t)=H(t)P(t)C'(t)W^{-1}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40f678285202464c13e237369bc00f791451a320)
![{\displaystyle L_{r}(t)=R^{-1}(t)B'(t)S(t)G'(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a326bf20bbb5b6552df666cc2c7498855dc82f)
![{\displaystyle {\mathbf {x} }_{r}(0)=H(0)E({\mathbf {x} }(0)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cffd31025dd2b38b2c49119f6110af356d76bf)
上式中的矩阵
是符合以下性质的矩阵:
几乎在所有状态下。
可以由
的投影分解中得到[4]:
若降阶LQG问题中的所有矩阵都是非时变的,且最终时间(horizon)
趋近无限大,则最佳降阶LQG控制器和最佳投影方程也都会是非时变的[1]。此情形下,最佳投影方程左侧的微分项会为零。
离散时间
离散时间的情形类似连续时间的例子,要处理的是将
阶传统离散时间全阶LQG问题转换为事先已知固定阶数的
阶降阶LQG控制器。为了要表示离散时间的OPE,先引入以下二个矩阵:
![{\displaystyle {}+A_{i}P_{i}C'_{i}(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i})^{-1}C_{i}P_{i}A'_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da41788a930d6537e68e501f13c0ddfe7284f83)
![{\displaystyle {}+A'_{i}S_{i+1}B_{i}(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B'_{i}S_{i+1}A_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f5b86c410e9edca2c2a81c9ce7f814e5502d07b)
则离散时间OPE为
.
.
almost everywhere,
almost everywhere.
斜投影(oblique projection)矩阵为
![{\displaystyle \tau _{i}={\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\left({\hat {P}}_{i}{\hat {S}}_{i}\right)^{*}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec4e377b848f92bf0c391f336c94737160b58f72)
非负对称矩阵
是离散时间OPE的解,也决定了降阶LQG控制器的矩阵
and
:
![{\displaystyle F_{i}^{r}=H_{i+1}\left(A_{i}-P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1}C_{i}-B_{i}\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}\right)G'_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b2a83a805cc3e050aae5df4f0c6f5efa10ba8d)
![{\displaystyle K_{i}^{r}=H_{i+1}P_{i}C'_{i}\left(C_{i}P_{i}C'_{i}+W_{i}\right)^{-1},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8461fb2be21a8ed9b4d75444984634d84f33d66)
![{\displaystyle L_{i}^{r}=\left(B'_{i}S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B'_{i}S_{i+1}G'_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f1a306cc713d6b8671758729ffbb3ff464a1486a)
![{\displaystyle {\mathbf {x} }_{0}^{r}=H_{0}E({\mathbf {x} }_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53dcddad84c34354f4a56c3ff8e5672b9b6eaf7b)
在上述的方程中,矩阵
是有以下性质的矩阵:
几乎在所有状态下。
这些矩阵可以从
的投影因式分解中求得[4]。
如同在连续时间中的例子一样,若问题中所有的矩阵都是非时变,且且最终时间(horizon)
趋近无限大,降阶LQG控制器就会是非时变的。因此离散时间OPE会收敛到稳态解,决定非时变的降阶LOG控制器[2]。
离散时间OPE也可以应用在状态维度,输入维度或是输出维度可变的离散时间系统(具有时变维度的离散时间系统)[6]。若在数位控制器中的取样是不同步的,就可能会出现这类的系统。
参考资料