扁球面坐标系

图1）扁球面坐标系的几个坐标曲面。红色扁球面的$\mu =1$。蓝色半双曲面的$\nu =45^{\circ }$。黄色半平面的$\phi =-60^{\circ }$（黄色半平面与xz-半平面之间的二面角角度是$-60^{\circ }$）。z-轴是垂直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。三个坐标曲面相交于点P（以黑色的圆球表示），直角坐标大约为$(1.09,\ -1.89,\ 1.66)$。

图2）椭圆坐标系绘图。横轴是x-轴，竖轴是z-轴。红色椭圆（$\mu$-等值线）变成上图的红色扁球面（$\mu$坐标曲面），而$x>0$青蓝色双曲线（$\nu$-等值线）则变成蓝色半双曲面（$\nu$坐标曲面）。

扁球面坐标系（英语：Oblate spheroidal coordinates）是一种三维正交坐标系。设定二维椭圆坐标系包含于xz-平面；两个焦点$F_{1}$与$F_{2}$的直角坐标分别为$(-a,\ 0,\ 0)$与$(a,\ 0,\ 0)$。将椭圆坐标系绕着z-轴旋转，则可以得到扁球面坐标系。（假若，绕着y-轴旋转，则可以得到长球面坐标系。）椭圆坐标系的两个焦点，变为一个半径为$a$的圆圈，包含于三维空间的xy-平面。称这圆圈为焦圆，又称为参考圆。扁球面坐标系可以被视为椭球坐标系的极限案例，其两个最大的半轴的长度相同。

当边界条件涉及扁球面或旋转双曲面时，扁球面坐标时常可以用来解析偏微分方程式。例如，关于佩兰摩擦因子（Perrin friction factors）的计算，扁球面坐标扮演了极重要的角色。让·佩兰因此而荣获1926年诺贝尔物理奖。佩兰摩擦因子决定了分子的旋转扩散（rotational diffusion）。这程序又影响了许多科技，像蛋白质核磁共振光谱学（protein NMR），的可行性。应用这程序，我们可以推论分子的流体动力体积与形状。扁球面坐标也时常用来解析电磁学（例如，扁球形带电的分子的电容率），声学（例如，声音通过圆孔时产生的散射），流体动力学（水通过消防水带的喷口），扩散理论（红热的钱币在水里的冷却），等等方面的问题。

第一种表述

在三维空间里，一个点P的扁球面坐标$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$常见的定义是

$x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \cos \phi$、

$y=a\ \cosh \mu \ \cos \nu \ \sin \phi$、

$z=a\ \sinh \mu \ \sin \nu$。

其中，$\mu \geq 0$是个实数，角度$-90^{\circ }\leq \nu \leq 90^{\circ }$，角度$-180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }$。

学术界比较中意这一种扁球面坐标，因为没有简并；三维空间内每一点都拥有自己独特的扁球面坐标。

坐标曲面

$\mu$坐标曲面是扁球面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$。

它们是由椭圆绕着z-轴旋转形成的。椭球面与xz-平面的相交，是一个的椭圆。沿着x-轴，长半轴长度为$a\cosh \mu$，沿着z-轴，短半轴长度为$a\sinh \mu$。椭圆的焦点都包含于x-轴，x-坐标分别为$\pm a$。

$\nu$坐标曲面是半个单叶旋转双曲面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1$。

假若$\nu$是正值，$z$也是正值，这半个单叶旋转双曲面在xy-平面以上；假若是负值，则在xy-平面以下。$\nu$是双曲线的渐近线的角度。所有双曲线的焦点都在x-轴，x-坐标分别为$\pm a$。

$\phi$坐标曲面是个半平面 ：

$x\sin \phi -y\cos \phi =0$。

逆变换

用直角坐标$(x,\ y,\ z)$来计算扁球面坐标$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$，方位角$\phi$的公式为

$\tan \phi ={\frac {y}{x}}$。

设定$d_{1}$与$d_{2}$分别为点P与焦圆的最远距离与最近距离，以方程式表示为

$d_{1}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+a)^{2}+z^{2}$、

$d_{2}^{2}=({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-a)^{2}+z^{2}$。

坐标$\mu$和$\nu$的方程式分别为

$\cosh \mu ={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}$、

$\cos \nu ={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}$。

标度因子

扁球面坐标$\mu$与$\nu$的标度因子相等：

$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$。

方位角$\phi$的标度因子为

$h_{\phi }=a\cosh \mu \ \cos \nu$。

无穷小体积元素是

$dV=a^{3}\cosh \mu \ \cos \nu \ \left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\cosh \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\cosh \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu \cos ^{2}\nu \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf {F}$、$\nabla \times \mathbf {F}$，都可以用$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

第二种表述

另外有一组有时会用到的扁球面坐标$(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )$；其中，$\zeta =\sinh \mu$，$\xi =\sin \nu$。$\zeta$坐标曲面是个扁球面，$\xi$坐标曲面是个旋转双曲面。从直角坐标变换至扁球面坐标：

$x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi$、

$y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi$、

$z=a\zeta \xi$。

其中，实数$0\leq \zeta <\infty$，实数$-1\leq \xi <1$，角度$-180^{\circ }\leq \phi \leq 180^{\circ }$。

标度因子

扁球面坐标$(\zeta ,\ \xi ,\ \phi )$的标度因子分别为：

$h_{\zeta }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}$、

$h_{\xi }=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}$、

$h_{\phi }=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}$。

无穷小体积元素是

$dV=a^{3}(\zeta ^{2}+\xi ^{2})\,d\zeta \,d\xi \,d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}$。

第三种表述

图3）第三种扁球面坐标系$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$的三个坐标曲面。红色扁球面是$\sigma$坐标曲面。蓝色单叶双曲面是$\tau$坐标曲面。黄色半平面是$\phi$坐标曲面 （黄色半平面与xz-半平面之间的二面角角度是$\phi$）。z-轴是垂直的，以白色表示。x-轴以绿色表示。第三种扁球面坐标系有双重简并。这可以从三个坐标曲面的两个相交点P₁，P₂ （以黑色的圆球表示）观察到。

另外，还有一种比较有几何直觉性的扁球面坐标系$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$：

$\sigma =\cosh \mu$、

$\tau =\cos \nu$、

$\phi =\phi$。

坐标$\sigma$必须大于或等于1。坐标$\tau$必须在正负1之间。$\sigma$坐标曲面是扁球面。$\tau$坐标曲面是单叶双曲面，包含了对应于正负$\nu$的半双曲面。第三种坐标有双重简并：三维空间的两点（直角坐标$(x,\ y,\ \pm z)$映射至一组扁球面坐标系$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$）。这双重简并可以从直角坐标变换至扁球面坐标的公式观察到：

$x=a\sigma \tau \cos \phi$、

$y=a\sigma \tau \sin \phi$、

$z^{2}=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)$。

坐标$\sigma$与$\tau$有一个简单的公式来表达任何一点P与焦圆的最远距离$d_{1}$，最近距离$d_{2}$：

$d_{1}+d_{2}=2a\sigma$、

$d_{1}-d_{2}=2a\tau$。

所以，点P与焦圆的最远距离是$a(\sigma +\tau )$，点P与焦圆的最近距离是$a(\sigma -\tau )$。

坐标曲面

$\sigma$坐标曲面是扁球面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1$。

$\tau$坐标曲面是单叶旋转双曲面 ：

${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1$。

$\phi$坐标曲面是半个平面 ：

$x\sin \phi -y\cos \phi =0$。

标度因子

扁球面坐标$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$的标度因子分别为：

$h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sigma ^{2}+1}}}$、

$h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}$、

$h_{\phi }=a\sigma \tau$。

无穷小体积元素是

$dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}d\sigma d\tau d\phi$。

拉普拉斯算子是

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma ^{2}+1\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(1-\tau ^{2}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}+1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$。

其它微分算子，像$\nabla \cdot \mathbf {F}$、$\nabla \times \mathbf {F}$，都可以用$(\sigma ,\ \tau ,\ z)$坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

如同球坐标解答的形式为球谐函数，拉普拉斯方程可以用分离变数法来求解，得到形式为扁球谐函数的答案。假若，边界条件涉及扁球面，我们可以优先选择这方法来解析。

参考目录

不按照命名常规

• Morse PM, Feshbach H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 662.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用$\xi _{1}=a\sinh \mu$、$\xi _{2}=\sin \nu$、$\xi _{3}=\cos \phi$。

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 115. ISBN 0-86720-293-9.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Morse & Feshbach (1953)，采用$u_{k}$来替代$\xi _{k}$。

• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity 3rd ed. New York: McGraw-Hill. 1968.  引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 98.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 采用混合坐标$\xi =a\sinh \mu$、$\eta =\sin \nu$、$\phi =\phi$。

按照命名常规

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 177.  引文格式1维护：冗余文本 (link)采用第一种表述$(\mu ,\ \nu ,\ \phi )$，又加介绍了简并的第三种表述$(\sigma ,\ \tau ,\ \phi )$。

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: p. 182.  引文格式1维护：冗余文本 (link) 如同Korn and Korn (1961)，但采用余纬度$\theta =90^{\circ }-\nu$来替代纬度$\nu$。

• Moon PH, Spencer DE. Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer Verlag. 1988: pp. 31–34 (Table 1.07). ISBN 0-387-02732-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link) Moon and Spencer采用余纬度常规$\theta =90^{\circ }-\nu$，又改名$\phi$为$\psi$。

特异命名常规

• Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP. Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics) 2nd edition. New York: Pergamon Press. 1984: pp. 19–29. ISBN 978-0750626347.  引文格式1维护：冗余文本 (link)视扁球面坐标系为椭球坐标系的极限。采用第二种表述。