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平行轴定理

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假设z'-轴平行于质心轴,则刚体对于z'-轴的转动惯量可以从钢体对于质心轴的转动惯量计算出来。
面积惯性矩的平行轴定理

平行轴定理(英语:parallel axis theorem)能够很简易地,从刚体对于一支通过质心的直轴(质心轴)的转动惯量,计算出刚体对平行于质心轴的另外一支直轴的转动惯量。

代表刚体对于质心轴的转动惯量、 代表刚体的质量、 代表另外一支直轴 z'-轴与质心轴的垂直距离。那么,对于 z'-轴的转动惯量是

平行轴定理、垂直轴定理伸展定则,这些工具都可以用来求得许多不同形状的物体的转动惯量。

平行轴定理也可以应用于截面二次轴矩(面积惯性矩):

这里, 是对于 z-轴的面积惯性矩、 是对于平面质心轴的面积惯性矩、 是面积、 是 z-轴与质心轴的垂直距离。

雅各·史丹纳 (Jakob Steiner) 而命名,史丹纳定理所指的几个理论,其中一个理论就是平行轴定理。

进阶理论

平行轴定理能够很简易的,从对于一个以质心为原点的坐标系统的惯性张量,转换至另外一个平行的坐标系统。

对于三维空间中任意一参考点 Q 与以此参考点为原点的直角坐标系 Qxyz ,一个刚体的惯性张量

这里,对角元素 分别为对于 x-轴、y-轴、z-轴的惯性矩。设定 为微小质量 对于点 Q 的相对位置。则这些惯性矩,可以精简地用方程定义为

而非对角元素,称为惯性积, 可以定义为

假若已知刚体对于质心 G 的惯性张量 ,质心 G 的位置是 ,则刚体对于原点 O 的惯性张量 ,依照平行轴定理,可以表述为

证明:

惯性张量的平行轴定理

a) 参考右图 ,让 分别为微小质量 对质心 G 与原点 O 的相对位置:

依照惯性张量的惯性矩定义方程,

所以,

相似地,可以求得 的方程。

b) 依照惯性张量的惯性积定义方程 ,

因为 ,所以

相似地,可以求得对于点 O 的其他惯性积方程。

实例

实心长方体:a)坐标系统的原点在质心。b)坐标系统的原点在角落。

思考一个实心长方体对于质心 G 的惯性张量,

如图右,质心 G 的位置是 。依照平行轴定理,实心长方体对于点 O 的惯性矩与惯性积分别为

因此,实心长方体对于点 O 的惯性张量是

参阅

参考文献

  • Beer, Ferdinand; E. Russell Johnston, Jr., William E. Clausen (2004). Vector Mechanics for Engineers. 7th edition. USA: McGraw-Hill, ISBN 0-07-230492-8

外部链接