平坦模

在抽象代数中，一个环 $R$ 上的平坦模是一个 $R$ -模 $M$ ，使得函子 $-\otimes _{R}M$ 保持序列的正合性；若此函子还是忠实函子，则称之为忠实平坦模

域上的向量空间都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。对于一个局部诺特环上的有限生成模，平坦性、射影性与自由性三者等价。

自塞尔的论文《代数几何与微分几何》以降，平坦性便在同调代数与代数几何中扮演重要角色。其几何意义甚深，详见条目平坦态射。

交换环的情形

当 $R$ 为交换环，一个 $R$ -模的平坦性等价于 $N\mapsto N\otimes _{R}M$ 是个从 $R$ -模到 $R$ -模之正合函子。

将环 $R$ 对一个积性子集 $S$ 的局部化 $S^{-1}R$ 视作 $R$ -模，则它是平坦的。

当 $R$ 是诺特环而 $M$ 是有限生成 $R$ -模时，平坦性在下述意义等价于局部自由模： $M$ 是平坦 $R$ -模当且仅当对任何素理想 ${\mathfrak {p}}$ ，局部化 $M_{\mathfrak {p}}$ 是自由 $R_{\mathfrak {p}}$ -模。事实上，对条件中的 ${\mathfrak {p}}$ 仅须考虑极大理想即可。

一般的环

当 $R$ 非交换时的定义须作如下修改：假设 $M$ 是左 $R$ -模，则称之左平坦模，当且仅当对 $M$ 的张量积将右 $R$ -模的正合序列映至阿贝尔群的正合序列。

环上的张量积总是右正合函子，所以左 $R$ -模 $M$ 是平坦模的充要条件是：对任何右 $R$ -模的单射 $K\rightarrow L$ ，取张量积后的同态 $K\otimes _{R}M\rightarrow L\otimes _{R}M$ 仍为单射。

极限

一般来说，平坦模的归纳极限仍是平坦模；此陈述可由 $-\otimes _{R}M$ 与 $\mathrm {Hom} _{R}(M,-)$ 的伴随性质形式地推出。平坦模的子模与商模不一定是平坦模，然而我们有下述定理：一个平坦模的同态像是平坦模，当且仅当其核为纯子模。

Lazard 在1969年证明了：模 $M$ 平坦的充要条件是它可表成有限生成自由模的归纳极限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。

一个阿贝尔群是平坦 $\mathbb {Z}$ -模的充要条件是其中没有挠元。

同调代数

与Tor函子的关系

平坦性也可以用Tor函子的消没性表示。Tor函子是张量积的左导函子。一个左 $R$ -模 $M$ 的平坦性等价于 $n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(-,M)=0$ ；类此，一个右 $R$ -模 $N$ 的平坦性等价于 $n\geq 1\Rightarrow \mathrm {Tor} _{n}^{R}(N,-)=0$ 。藉Tor函子的长正合序列可以导出下列关于基本性质：

考虑短正合序列

0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0

若 $A,C$ 平坦，则 $B$ 亦然。
若 $B,C$ 平坦，则 $A$ 亦然。
若 $A,B$ 平坦， $C$ 不一定平坦；若假设 $A$ 是 $B$ 的纯子模而 $B$ 平坦，则可推出 $A$ 与 $C$ 皆平坦。

局部判准

设 $R$ 为交换环， $I\subset R$ 为一理想，则我们有下述平坦性的局部判准。

定理（Bourbaki）. 以下诸条件等价：

$M$ 是平坦 $R$ -模。
$R/I\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I$ -模，且 $\mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,R/I)=0$ 。
$R/I\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I$ -模，且典范同态 $I\otimes _{R}M\rightarrow IM$ 为同构。
对所有 $R$ -模 $N$ ，有 $IN=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$ 。
对所有 $R$ -模 $N$ ，有 $\exists s\in \mathbb {N} \;I^{s}N=0\Rightarrow \mathrm {Tor} _{1}^{R}(M,N)=0$ 。
对所有 $s\in \mathbb {N}$ ， $R/I^{s}\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I^{s}$ -模。
$R/I\otimes _{R}M$ 是平坦 $R/I$ -模，且典范态射 $\gamma :\mathrm {gr} _{I}^{0}(M)\otimes _{R/I}\mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(A)\rightarrow \mathrm {gr} _{I}^{\bullet }(M)$ 为同构。

此判准在代数几何中的用途尤大。

平坦分解

一个模 $M$ 的平坦分解是如下形式的正合序列：

\cdots \rightarrow F_{i}\rightarrow F_{i-1}\rightarrow \cdots \rightarrow F_{0}\rightarrow M\rightarrow 0

使得其中每个 $F_{i}$ 都是平坦模。

任何射影分解都是平坦分解。

忠实平坦模

一个 $R$ -模 $M$ 被称作忠实平坦的，当且仅当 $-\otimes _{R}M$ 是个忠实的正合函子。这也就是说：

$M$ 是个平坦 $R$ -模。
典范映射 $\mathrm {Hom} _{R}(N_{1},N_{2})\rightarrow \mathrm {Hom} (N_{1}\otimes _{R}M,N_{2}\otimes _{R}M)$ 是单射。

当 $R$ 为交换环时，有以下几种等价的刻划：

$M$ 是忠实平坦的。
$M$ 是平坦的，且 $N\otimes _{R}M=0\Rightarrow N=0$ 。
$M$ 是平坦的，且对所有极大理想 ${\mathfrak {m}}\subset R$ 都有 $R/{\mathfrak {m}}\otimes _{R}M\neq 0$ 。
一个序列 $N_{\bullet }$ 正合，当且仅当 $N_{\bullet }\otimes _{R}M$ 正合。

文献

Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.