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对数平均

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三维图表显示对数平均的值

对数平均是一个二个非负数字数学函数,等于两者的除以其对数的差。其符号为:

其中都是正整数。

对数平均的计算适用在有关热传质传工程问题上。

不等式

二个数字的对数平均小于其算术平均,大于几何平均[1],若二个数字相等,对数平均会等于算数平均及几何平均。

平均的推导

微分的均值定理

根据均值定理

若将改为,对数平均可以由 来求得

求解

积分

对数平均也可以表示为指数函数以下的面积

面积的表示法可以推导一个有关对数平均的基本性质。 因为指数函数为单调函数,长度为1区间的的积分会在之间。积分算子的齐次性转移到平均算子,因此.

推广

微分的均值定理

对数平均可推广到变数,考虑对数n阶导数均差中值定理英语mean value theorem (divided differences)。 可以得到: 其中为对数的均差

,会变成

.

积分

积分的表示法也可以推广到多变数,但结果不同。 假设单纯形 其中及适当的量度可以使单纯形得到1的体积,可得

利用指数函数的均差可以简化如下

.

例如

.

和其他平均的关系

  • 算术平均

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参考资料