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对偶线性规划

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一个线性规划问题(“原问题”)的对偶线性规划问题(“对偶问题”)是另一个线性规划问题,由原问题以一定方式派生而来:[1]

  • 原问题中的每个变量都变为对偶问题中的一个限制条件;
  • 原问题中的每个限制条件都变为对偶问题中的一个变量;
  • 原问题若是求目标函数的最大值,则对偶问题是求最小值,反之亦然。

对偶问题的构建方法

对于以下形式的两个线性规划问题:

问题甲 问题乙
最大化目标函数
最小化目标函数
n个变量
n个限制条件
  • 第i个限制条件为
  • 第j个限制条件为
  • 第k个限制条件为
m个限制条件
  • 第i个限制条件为
  • 第j个限制条件为
  • 第k个限制条件为
m个变量

我们称甲、乙互为对偶问题,即:甲为乙的对偶问题,乙为甲的对偶问题。由此定义可知,原问题是其对偶问题的对偶问题。

特别地, 若所有限制条件的符号方向相同,我们有以下形式:

名称 问题甲 问题乙
对称对偶问题 Maximize cTx 满足 Axb, x ≥ 0 Minimize bTy 满足 ATyc, y ≥ 0
非对称对偶问题 Maximize cTx 满足 Axb Minimize bTy 满足 ATy = c, y ≥ 0
Maximize cTx 满足 Ax = b, x ≥ 0 Minimize bTy 满足 ATyc

例子

以下甲乙互为对偶问题。

问题甲 问题乙

对偶定理

对于互相对偶的最大化问题甲与最小化问题乙,我们有如下两个定理。

弱对偶定理

分别满足问题甲、乙的限制条件,则:

强对偶定理

分别满足问题甲、乙的限制条件,则:分别为问题甲、乙的最优解(即),当且仅当

换言之,若甲、乙均有解,则

无限值解与无解问题

由对偶定理,不难得出以下结论:

  • 若原问题有无限值解,则其对偶问题无解;
  • 若对偶问题有无限值解,则其原问题无解。

但是,原问题和对偶问题可同时无解。

对偶问题的解读

经济学角度

甲公司有拥有一间核酸检测实验室,提供普通、VIP两种核酸检测服务,每人次普通、VIP检测分别可获利润10元、20元。每人次普通、VIP检测分别需要占用1单位、8/3单位人力,而该实验室有每天4千单位人力。由于PCR扩增仪检测能力限制,该实验室每天最多检测2千人次。另由于政府规管,该实验室每天最多允许1.5千人次VIP检测。因核酸检测需求旺盛,不论该实验室提供多少次核酸检测服务均有人买单。问题甲:该实验室每天应该分别提供多少次普通、VIP核酸检测服务?

现乙公司欲租用该核酸检测实验室。问题乙:乙公司应该为每单位人力、每人次核酸检测能力、每人次VIP检测许可分别支付多少钱一天?

问题甲 问题乙
利润最大化
成交价格最小化
2个变量
  • (普通核酸服务次数)
  • (VIP核酸服务次数)
2个限制条件
  • (否则甲公司宁可自己做普通核酸服务)
  • (否则甲公司宁可自己做VIP核酸服务)
3个限制条件
  • (人手限制)
  • (检测能力限制)
  • (政府免许限制)
3个变量
  • (单位人力价格)
  • (单位检测能力价格)
  • (单位免许价格)

问题甲、乙均有解。由前述强对偶定理可知,甲公司能获得的最大利润即是乙公司能获得的最低成交价格。最优解为:

几何角度

参考

  1. ^ Gärtner, Bernd; Matoušek, Jiří. Understanding and Using Linear Programming. 德国柏林: Springer. 2006: 81–104. ISBN 3-540-30697-8.