在抽象代数中,多项式环推广了初等数学中的多项式。一个环
上的多项式环是由系数在
中的多项式构成的环,其中的代数运算由多项式的乘法与加法定义。在范畴论的语言中,当
为交换环时,多项式环可以被刻划为交换
-代数范畴中的自由对象。
定义
多项式函数与多项式
在初等数学与微积分中,多项式视同多项式函数,两者在一般的域或环上则有区别。举例言之,考虑有限域
上的多项式
![{\displaystyle P(X)=X^{2}+X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4066f84e54ef72e71ef112bf85072492826fa23f)
此多项式代任何值皆零,故给出零函数,但其形式表法非零。
我们宁愿将多项式看作形式的符号组合,以得到较便利的代数理论。且考虑多项式在域扩张之下的性质:就函数观点,多项式函数在域扩张下的行为颇复杂,上述
给出
上的零函数,但视为
上的多项式函数则非零;而就形式观点,只须将系数嵌入扩张域即可。
形式定义
于是我们采取下述定义:令
为环。一个单变元
的多项式
定义为下述形式化的表法:
![{\displaystyle P(X)=a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c40b6a5c2d5ee6c00d2088a4fb90e45d3e08eadc)
其中
属于
,称作
的系数,而
视作一个形式符号。两多项式相等当且仅当每个
的系数均相同。次数最大的非零系数称为该多项式的领导系数,或者首项系数。
更严谨的说法或许是将多项式定义为系数的序列
,使得其中仅有有限项非零。但是我们在实践上总是用变元
及其幂次表达。
多项式的运算
以下固定环
,我们将推广初等数学中熟悉的多项式运算。
环结构
多项式的加法由系数逐项相加定义,而乘法则由下列法则唯一地确定:
- 分配律:对所有
上的多项式
,恒有
![{\displaystyle (P(X)+Q(X))\cdot R(X)=P(X)R(X)+Q(X)R(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf33631ab65ed326c0f869f66f23c50bc6e2b0eb)
![{\displaystyle R(X)\cdot (P(X)+Q(X))=R(X)P(X)+R(X)Q(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54176f9c3fb8b7a5237fd1bcd1355ef8396cee7b)
- 对所有
,有 ![{\displaystyle X\,a=a\,X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aad3b9ce3c7975851edcdef61cdcda2e61e191e5)
- 对所有非负整数
,有 ![{\displaystyle X^{k}\cdot X^{l}=X^{k+l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2bee4a3ac70163e0dc9629363e421208a3c1db6)
运算的具体表法如下:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}+\sum _{i=0}^{n}b_{i}X^{i}=\sum _{i=0}^{n}(a_{i}+b_{i})X^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc197716f04238d21ab5dcd2de869f4c0c1f5e15)
![{\displaystyle \left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}\right)\left(\sum _{j=0}^{m}b_{j}X^{j}\right)=\sum _{k=0}^{m+n}\left(\sum _{\mu +\nu =k}a_{\mu }b_{\nu }\right)X^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7903d70e25011614c8c21379b08735372fe832a9)
当
是交换环时,
是个
上的代数。
多项式的合成
设
而
为另一多项式,则可定义两者的合成为
![{\displaystyle (P\circ Q)(X):=\sum _{i}a_{i}Q(X)^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df35511c85feeefc72844d540e09121218b0967c)
求值
对于任一多项式
及
,我们可考虑
对
的求值:
![{\displaystyle s_{r}(P):=\sum _{i}a_{i}r^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/708d98337ca54a11a95739f1b9caeb9e50cf00c4)
固定
,则得到一个环同态
,称作求值同态;此外它还满足
![{\displaystyle s_{r}(P\circ Q)=s_{s_{r}(Q)}(P)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c7919b3bab5739a3dc8fe6d4b81550a875ffe7a)
导数
在微积分中,多项式的微分由微分法则
确定。虽然一般的环上既无拓扑结构更无完备性,我们仍然可形式地定义多项式的导数为:
![{\displaystyle P(X)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35b4e96d85e444c924068d7461d4c368940b8090)
![{\displaystyle \Rightarrow P(X)':=\sum _{i=0}^{n}ia_{i}X^{i-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/227895b0a2b6ce4e042c057622f2f2be9efd546d)
这种导数依然满足
与
等性质。对于系数在域上的多项式,导数也可以判定重根存在与否。
多变元的情形
上述定义可以推广到任意个变元(包括无限个变元)的情形。对于有限变元的多项式环
,也可以采下述构造:
先考虑两个变元
的例子,我们可以先构造多项式环
,其次构造
。可以证明有自然同构
,例如多项式
![{\displaystyle P(X,Y)=X^{2}Y^{2}+4XY^{2}+5X^{3}-8Y^{2}+6XY-2Y+7\in R[X,Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cf31597ec146240769b189e3ad40e09843adc9d)
也可以视作
![{\displaystyle (X^{2}+4X-8)Y^{2}+(6X-2)Y+(5X^{3}+7)\in (R[X])[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b729c72ee347d3aa4b746a036a81ba1ae8488a99)
对
亦同。超过两个变元的情形可依此类推。
性质
- 若 R 是域,则
是主理想环(事实上还是个欧几里得整环)。
- 若 R 是唯一分解环,则
亦然。
- 若 R 是整环,则
亦然。
- 若 R 是诺特环,则
亦然;这是希尔伯特基底定理的内容。
- 任一个交换环
上的有限生成代数皆可表成某个
的商环。
在数学中的角色
多项式环对理想的商是构造环的重要技术。例子包括从同余系
构造有限域,或从实数构造复数等等。
弗罗贝尼乌斯多项式是另一个跟多项式环相关的环,此环的乘法系采用多项式的合成而非乘法。