哈瑟原则

在数学里，赫尔姆特·哈瑟的局部-全域原则，或称为哈瑟原则，是一个表示“一个方程可以在有理数上被解当且仅当它可以在实数上‘及’在每个质数p之p进数上被解”的原则。

表示0的型

二次型

哈瑟-闵可夫斯基定理描述著局部-全域原则会由在有理数上之二次型来表示0的问题中成立(由闵可夫斯基证出)；且更一般性地，会在任何一个数域上成立(由哈瑟证出)，其中使用了所有合适的局部域的必要条件。循环扩张上的哈瑟定理描述著局部-全域原则可以应用在数域循环扩张之一个相对赋范的条件下。

三次型

恩斯特·赛尔玛提出的反例表示哈瑟-闵可夫斯基定理不可以扩伸至三次型，如三次型 $3x^{3}+4y^{3}+5z^{3}$ 可以在p进数上表示0，但不能在Q上表示。^[1]

罗杰·希思布朗^[2]证明每个在整数上至少有14个变数的三次型可以表示0，改进了由哈罗德·达芬波特所证明出的早期成果^[3]。因此局部-全域原则当然地会在有理数上至少有14个变数的三次型上成立。

若将其限定在无奇点的类型上，即可以得到更好的结果：希思布朗证明每个在有理数上至少有10个变数之无奇点的三次型都可表示0^[4]，因此可以当然地建立起在此一类型上的哈瑟原则。可知在最有可能的义意下，可知会存在一个不会表示零的9个变数之于有理数上的无奇点三次型。^[5]无论如何，荷利证明出了哈瑟原则会在由在有理数上至少9个变数之无奇点三次型来表示0的条件下成立。^[6]达芬波特、希思布朗和荷利在他们的证明中都是使用哈代-勒特伍德圆法。根据马宁的想法，哈瑟原则在三次型中成立的障碍是被挷在布劳尔群的理论之中；而现在只表现出此一设定还不是个完整的故事(Alexei Skorobogatov, 1999)。

更高次型

藤原正彦和Masaki Sudo提出的反例表示哈瑟-闵可夫斯基定理不可以延伸至 $10n+5$ 次型，其中的 $n$ 是一个非负整数。^[7]

在另一方面，柏区定理证明出若d是一个奇数，则存在一个 N(d)，使任何有多于 N(d) 个变数的 d 次型皆能表示 0：哈瑟原则在此当然地成立。

另见

参考文献

^ Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)
^ 存档副本 (PDF). [2007-01-01]. （原始内容存档 (PDF)于2007-02-21）.
^ H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)
^ D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)
^ L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)
^ C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)
^ M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

外部链接

PlanetMath article（页面存档备份，存于互联网档案馆）
Swinnerton-Dyer, Diophantine Equations: Progress and Problems, online notes

[1] Ernst S. Selmer, The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0, Acta Mathematica, 85, pages 203-362, (1957)

[2] 存档副本 (PDF). [2007-01-01]. （原始内容存档 (PDF)于2007-02-21）.

[3] H. Davenport, Cubic forms in sixteen variables, Proceedings of the Royal Society London Series A, 272, pages 285-303, (1963)

[4] D. R. Heath-Brown, Cubic forms in ten variables, Proceedings of the London Mathematical Society, 47(3), pages 225-257, (1983)

[5] L. J. Mordell, A remark on indeterminate equations in several variables, Journal of the London Mathematical Society, 12, pages 127-129, (1937)

[6] C. Hooley, On nonary cubic forms, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 386, pages 32-98, (1988)

[7] M. Fujiwara, M. Sudo, Some forms of odd degree for which the Hasse principle fails, Pacific Journal of Mathematics, 67 (1976), No. 1, pages 161-169

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