向量算子是指向量分析中使用的微分算子。向量算子使用Nabla算符定义,包括梯度、散度和旋度。
![{\displaystyle \operatorname {grad} \equiv \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9850f0dbdcc505aba4ef2f18ab1d207df8e4b524)
![{\displaystyle \operatorname {div} \ \equiv \nabla \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f4cb567abf491da897ae93ab1b720ae029b0bd3)
![{\displaystyle \operatorname {curl} \equiv \nabla \times }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc7a70491c971359da5cc7455443777d807f10a)
拉普拉斯算符表示为:
![{\displaystyle \nabla ^{2}\equiv \operatorname {div} \ \operatorname {grad} \equiv \nabla \cdot \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7069c01020e61214339005f7585c8f150cb26922)
向量算子必须写在它们所运算的标量场或向量场的左侧,例如:
![{\displaystyle \nabla f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7b4d6de89b52c5a5e6e1583cb63eaee263e307b)
得到f的梯度,但是
![{\displaystyle f\nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46a15cebd3b96dfc30df10b5c6da520b578ab3eb)
是另一个向量算子,没有对任何量进行运算。
一个向量算子可对另一个向量算子进行运算,得到一个复合向量算子,例如上面的拉普拉斯算符。
三维空间中的标量函数与向量函数
标量函数
令
为空间位置
的多变数标量函数 ,例如:
![{\displaystyle U(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5132e7d039bcf3436463f8840047cf116ac3a38)
表示了一个球面,这是一个标量场,其中每点的值等于该球半径的平方。
向量函数
令
为空间位置
的向量函数 ,它可以被拆成三个分量,写成以下的向量形式:
![{\displaystyle V(x,y,z)=V_{x}(x,y,z){\hat {i}}+V_{y}(x,y,z){\hat {j}}+V_{z}(x,y,z){\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44941fc6360e0a6a806351c8c731f720aa7cf73)
梯度与Nabla算子的定义
标量函数
在三维笛卡儿坐标系的各个座标轴上有以下变率:
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6223ef84efdbf88fbdfaa5f64263873565ce3604)
因为是沿着座标轴的变率,所以可以写成分量形式:
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}},{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}},{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355137078b0c53ffe88ada7bb138a635cb139dba)
其加总即为
的组合变率:
![{\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6620c1f309028a7b8e4c692d8701c16af194d4c0)
如同微分算子
被用来表示某函数的导数,例如
或
,我们使用
来表示组合变率:
![{\displaystyle \nabla U={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=V(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428a4688e3d199c329da6db2dc18e42768533ce1)
其中
为一向量函数。组合变率
称为
的导数(derivative),
则称为
的本原(primitive)。
本身是一个向量函数。在几何与物理上,它指向变化速率最大的那个方向,在这个意义上,它被称为
的梯度、或斜率。
Nabla算子的单独使用
我们可以把
当作一个函数,念为
,记为
,它接受一个标量函数,并传回一个向量函数。其运算式为:
,因此:
![{\displaystyle \nabla U=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)(U)={\frac {\partial U}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial U}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\hat {k}}=\operatorname {grad} U}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/205d075a17e2997e0119c7d8acb20c4c5eb3dbab)
将
当作一个形式上的向量,则可以用向量的内积与叉积导出散度与旋度。
散度:Nabla算子与向量函数的内积
将
当作一个形式向量,与向量函数
做内积:
![{\displaystyle \nabla \cdot V=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial V_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial V_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial V_{z}}{\partial z}}=U(x,y,z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4169018771f9d9d16bdb6c50c72f825a10582a96)
这里得到一个标量函数
,称为
的散度。
我们也可以将
当作一个算子,念为
,记为
,它接受一个向量函数,但是传回一个标量函数:
![{\displaystyle \nabla \cdot V=\operatorname {div} V={\hat {i}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\cdot {\frac {\partial V}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adeb0d605b2ba19857c250d6c272001f339ccc1f)
旋度:Nabla算子与向量函数的叉积
将
当作一个形式向量,与向量函数
做叉积:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times V&=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\times \left(V_{x}{\hat {i}}+V_{y}{\hat {j}}+V_{z}{\hat {k}}\right)\\&={\hat {i}}\left({\frac {\partial V_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial V_{y}}{\partial z}}\right)+{\hat {j}}\left({\frac {\partial V_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial V_{z}}{\partial x}}\right)+{\hat {k}}\left({\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}\right)={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\V_{x}&V_{y}&V_{z}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5469480d1196563eecf47681393b1e552c5dbc8b)
这里得到一个向量函数,称为
的旋度。
我们也可以将
当作一个算子,念为
,记为
,它接受一个向量函数,并传回一个向量函数:
![{\displaystyle \nabla \times V=\operatorname {curl} V={\hat {i}}\times {\frac {\partial V}{\partial x}}+{\hat {j}}\times {\frac {\partial V}{\partial y}}+{\hat {k}}\times {\frac {\partial V}{\partial z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a75fa3dba1c31021455ef3cbaa65b01e1f97afc)
拉普拉斯算子
对一个标量函数做梯度运算,可以得到一个向量函数,再对该向量函数做散度运算,又得回一个标量函数,称为梯度的散度:
![{\displaystyle \nabla \cdot \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)\cdot \left({\frac {\partial }{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\hat {k}}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfcbd18e5264cf3f317e734ba684270cc1e4ece7)
这称为拉普拉斯算子,记为
或者
,它接受一个标量函数,并传回一个标量函数。
参见
延伸阅读
- H. M. Schey (1996) Div, Grad, Curl, and All That: An Informal Text on Vector Calculus, ISBN 0-393-96997-5.