复平面上的双伽玛函数
。点
的颜色与
的值有关。强烈的颜色意味着接近于零的值,而色彩则与辐角有关。
双伽玛函数是伽玛函数的对数导数。
![{\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\Gamma (x)}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/828d993d548c2b5627a7b620a90aabbe76521b73)
它是第一个多伽玛函数。
与调和数的关系
双伽玛函数,通常用ψ0(x)、ψ0(x)或
来表示,与调和数有以下的关系:
![{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma \!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fdafbb68f5daa5eeaffeab1cd4e67cab4f3bd4)
其中Hn是第n个调和数,γ是欧拉-马歇罗尼常数。对于半整数的值,它可以表示为:
![{\displaystyle \psi \left(n+{\frac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a7c03bfa53cfa3bba5b9584a704cf803430501a)
积分表示法
它有以下的积分表示法:
![{\displaystyle \psi (x)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-xt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/335bbb714c917f57907037cf94e61525dbf09b42)
也可以写为
![{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1078e73d2167339bf7f6257992a8f0ef0ff35638)
这可以从调和数的欧拉积分公式得出。
泰勒级数
双伽玛函数有一个有理ζ级数,由z=1的泰勒级数给出。这是
,
当|z|<1时收敛。在这里,
是黎曼ζ函数。这个级数可以很容易从赫尔维茨ζ函数的泰勒级数推导出。
牛顿级数
双伽玛函数的牛顿级数可从欧拉积分公式得出:
![{\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bebcc0d053f9da24b9aa39970b1cafb8d59bf093)
其中
是二项式系数。
反射公式
双伽玛函数满足一个反射公式,类似于伽玛函数的反射公式:
![{\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \,\!\cot {\left(\pi x\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/014430e145fe8e423c455a178b986e3790170039)
递推关系
双伽玛函数满足以下的递推关系:
![{\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31cd66fd2bb46d583039b74cf847d15a8d2b9310)
高斯和
双伽玛函数具有以下形式的高斯和:
![{\displaystyle {\frac {-1}{\pi k}}\sum _{n=1}^{k}\sin \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=\zeta \left(0,{\frac {m}{k}}\right)=-B_{1}\left({\frac {m}{k}}\right)={\frac {1}{2}}-{\frac {m}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/889e24ce143cb3eb86c68e26eea50edf14fb1b96)
其中m是整数,且
。在这里,ζ(s,q)是赫尔维茨ζ函数,
是一个伯努利多项式。乘法定理的一种特殊情况是:
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{k}\psi \left({\frac {n}{k}}\right)=-k(\gamma +\log k),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa9eba39d21235020231b9e49785da1511eabd7)
一个推广为:
![{\displaystyle \sum _{p=0}^{q-1}\psi \left(a+{\frac {p}{q}}\right)=q[\psi (qa)-\ln(q)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9301f832a1fd249c81e84a986bec85d927ea974)
其中假设了q是自然数,而1-qa则不是。
高斯双伽玛定理
对于正整数
和
,双伽玛函数可以用初等函数来表示:
![{\displaystyle \psi \left({\frac {m}{k}}\right)=-\gamma -\ln(2k)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {m\pi }{k}}\right)+2\sum _{n=1}^{\lfloor {\frac {k-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nm}{k}}\right)\ln \sin \left({\frac {n\pi }{k}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5fc249fb412e8564b4494c60dae7d634fb15923)
特殊值
双伽玛函数有以下的特殊值:
![{\displaystyle \psi (1)=-\gamma \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc1f0004e542728e57a61f073f173b701a31a104)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{2}}\right)=-2\ln {2}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cc974ae0c4a67cd76a3519e0ba3611bc3481897)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3}{2}}\ln {3}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08d8266ed3a886e346325d67c02823b4911ed360)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{4}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln 2-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa30ea6b874f8be199b0daac1fc96658be0bb48)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{6}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\frac {3}{2}}\ln 3-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7a434557ef7f622885dc091a809f0a48523f68b)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {1}{8}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\left[\pi +\ln(3+2{\sqrt {2}})\right]-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ce79b4b860632609399b4bcb3a5b9d74f950b5)
![{\displaystyle \psi \left({\frac {3}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e4b6304f7d9c209294cee2ee4905ac5ce3f33d)
参见
参考文献