在数学里,初值问题是一个涉及微分方程式与一些初始条件的问题;这初始条件是微分方程式的未知函数在某些点的设定值。
以下是一些初值问题的例子:
![{\displaystyle y'=0.85y,\qquad y(0)=19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00d7a4e01b90e85d10040f0f59b9dd2fcd0fcd8f)
![{\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136777ed63236c3f605d0dbc5f9895dcf147a9e6)
定义
一个初值问题涉及微分方程式
,
与在
的定义域内的一点
。
这在
的定义域内的点
称为初始条件。
- 假若初值问题的一个解是函数
,则
是微分方程式
的解,满足
。
- 对于更高阶的问题,可视
为向量。每加高一个阶,就増添一个分量给
。
解的存在性及唯一性
对于许多的初值问题,解的存在性及唯一性可以用计算机来描述。
若ƒ在一个包括t0及y0的区间内连续,且对变数y满足利普希茨连续的条件.则皮卡-林德勒夫定理可保证在一个包括t0的区间有唯一解。
此定理的证明需将问题变成等价的积分方程,积分可视为将一个函数映射为另一个函数的运算子,因此其解为运算子的不动点,再利用巴拿赫不动点定理证明有一个唯一的不动点.即为初值问题的解。
较早期证明皮卡-林德勒夫定理的方式是建构一个函数的数列,最终会收敛到积分方程的解,也就是初值问题的解。这种建构法称为“皮卡法”或是“连续近似法”,是巴拿赫不动点定理的一个特例。
日本数学家冈村博找到一个初值问题有唯一解的充分必要条件,其条件是要证实系统的李亚普诺夫函数存在[1]。
有些情形,函数ƒ不是光滑函数,甚至不是利普希茨连续,因此一般可确认局部唯一解的方式无法适用。皮亚诺存在性定理可以在函数ƒ仅仅为连续函数的情形,证明存在局部解。不过此时无法证明解的唯一性[2][3]。卡拉特欧多存在性定理可适用的范围更广,可以在ƒ是一些特定不连续函数的情形下证明局部解是否存在。
范例
- 例一
一个简单的范例是求解
及
,要求出一个
满足上述二式。
由于
,因此
![{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=0.85y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c13174316cb27139a410f52d69e26411dae0216)
接下来重新整理方程式,使
在等式左边,
在等式右边
![{\displaystyle {\frac {dy}{y}}=0.85dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d232a8b97d320f0a7dcf197228faabffcb59379)
再将等式二边积分,会引入未知常数
![{\displaystyle \ln |y|=0.85t+B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60aa8faa00578d4d9b781ea056b469c4a2faf15)
消去
![{\displaystyle |y|=e^{B}e^{0.85t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/115ea1247acfbbbe7ba8cb2f47729aae127a015a)
令
为一个新的未知常数,
,因此
![{\displaystyle y=Ce^{0.85t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/729818e09f3765308ec72b22187deee2a5448d25)
现在需要找出
的数值。利用
的启始条件,将
代入0,
代入19
![{\displaystyle 19=Ce^{0.85*0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e9b2635d3a8728928ed55e6de6401f9fe4e68b3)
![{\displaystyle C=19}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d37f2ad3042d7309fc2b1ab0a87865c42f2908)
因此可得其解为
.
- 例二
![{\displaystyle {\dot {y}}+3y=6t+5,\qquad y(0)=3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/136777ed63236c3f605d0dbc5f9895dcf147a9e6)
利用拉普拉斯变换
![{\displaystyle sY(s)-y(0)+3Y(s)={\frac {6}{s^{2}}}+{\frac {5}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfcb21e266ecc5f9b8372b9064d6a167fbd9be71)
![{\displaystyle \therefore Y(s)={\frac {y(0)s^{2}+5s+6}{s^{2}(s+3)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f72eac88c54e3a0fe793efb2dfe3bbb7dfaf23e)
利用部分分式分解
![{\displaystyle Y(s)={\frac {\alpha }{s}}+{\frac {\beta }{s^{2}}}+{\frac {\gamma }{s+3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642ccdc813d50d314f60fca57e6cf43ddef0f148)
![{\displaystyle \alpha =1,\beta =2,\gamma =y(0)-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a853116033bb5e814fed0703b4f8c56be6ce4bcf)
![{\displaystyle Y(s)={\frac {1}{s}}+{\frac {2}{s^{2}}}+{\frac {y(0)-1}{s+3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b5b98c5deadbdb8bdb34046dcb04d86daa70db5)
拉普拉斯逆变换
![{\displaystyle y(t)=2e^{-3t}+2t+1\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdf348683580e766e7d66519b8740768327c068e)
参阅
参考资料
- ^ Okamura, Hirosi. Condition nécessaire et suffisante remplie par les équations différentielles ordinaires sans points de Peano. Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto Ser. A. 1942, 24: 21–28 (法语).
- ^ Coddington, Earl A. and Levinson, Norman. Theory of ordinary differential equations. New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. 1955. Theorem 1.3
- ^ Robinson, James C. Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. 2001. ISBN 0-521-63204-8. Theorem 2.6