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σ-代数

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数学中,某个集合 X 上的 σ-代数(英语:σ-algebra)又叫 σ-域(英语:σ-field),是 X 的某群子集合所构成的特殊子集族。这个子集族对于补集运算和可数个并集运算具有封闭性(因此对于可数个交集运算也是封闭的)。σ-代数在测度论里可以用来定义所谓的“可测集合”,是测度论的基础概念之一。

σ-代数的概念大约起始于1900~1930年,它随着测度论的发展而逐渐清晰。最著名的 σ-代数是关于实数轴测度的波莱尔σ-代数(得名于法国数学家埃米·波莱尔),以及1901年亨利·勒贝格建立的勒贝格σ-代数。而现代的测度理论的公理化体系就建立在勒贝格的相关理论之上。在这个领域中,σ-代数不仅仅是用于建立公理体系,也是一个强有力的工具,在定义许多重要的概念如条件期望的时候,都需要用到。

动机

σ-代数的提出有至少三个作用:定义测度,操作集合的极限,以及管理集合所表示的部分信息。

测度

测度是给的子集赋予非负实数值的函数;可以把测度想成给集合的一个精确的“大小”或“体积”的定义。直觉上来讲,若干个互不相交集合的并集的大小应当等于它们各自的大小之和,即使有无穷多个这样的不交集

定义

定义 — 
为一集合,假设有子集族 代表 幂集)满足下列条件[1][2]

则称 的一个 σ-代数

注意到定义第3条的,意思是 自然数系 等势,直观的意思就是 里的元素跟自然数一样多。

以上定义的直观意义为:一群 子集合所组成的集合 ,为 上的一个 σ-代数意思是满足:

  • 本身就是 的元素;
  • 如果集合 中,那么它的补集 也在中;
  • 如果有可数个集合 都在 中,那么它们的并集也在 中。

测度论有序对 会被称为一个可测空间。而任何在 中的子集 ,则称为可测集合(measurable set);而在概率论中, 被称为事件族(family of events), 中的子集 则称为事件

例子

  • 上最小的σ-代数是
  • 上最大的σ-代数是幂集(也就是所有 子集合所组成的集合)

最小σ-代数

定理 — 
的一个子集族,则:

也是 的σ代数。

证明
根据 的定义(严谨来说,依据分类公理所新增的公理),对所有集合 有:
(a)

以下将逐条检验σ代数的定义,来验证 的确是 的σ代数:

(1)

对所有的集合族 来说,只要 是σ代数,按照定义理当有 ,所以由式(a)的右方的确可以得出

(2)若 ,则 也在

,那根据式(a),对所有的集合族 来说,只要 是σ代数 且,理当有 ,所以对所有 只要满足这两个条件,理当有 ,所以由式(a)的右方的确有:

(3)可数个并集也在

,由式(a),只要 满足(a)左方的两个条件,就有 ,所以:

所以再从(a)右方,就可以得到:

综上所述, 的确是 的σ代数。

根据以上的定理,可以做以下的定义:

定义 — 
的一个子集族,则:

称为包含 最小σ-代数

例子

  • 设集合,那么 是集合上含有 的σ-代数中最“小”的一个。


性质

σ-代数是一个代数也是一个λ系,它对集合的交集并集差集、可数交集、可数并集运算都是封闭的。

参考来源

  1. ^ Paul Halmos. Measure Theory. Van Nostrand. 1950. ,第28页
  2. ^ Marc Briane & Gilles Pagès. Théorie de l'intégration. Vuibert. 2000. ISBN 2-7117-8946-2. ,第45-46页