黎曼曲率張量

在微分幾何中，黎曼曲率張量或黎曼張量是表達黎曼流形的曲率的標準方式，更普遍的，它可以表示有仿射聯絡的流形的曲率 ,包括無扭率或有撓率的。曲率張量通過列維-奇維塔聯絡(更一般的，一個仿射聯絡) $\nabla$ (或者叫協變導數)由下式給出:

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.

這裏 $R(u,v)$ 是一個流形切空間的線性變換；它對於每個參數都是線性的。

注意有些作者用相反的符號定義曲率.

如果 $u=\partial /\partial x_{i}$ 與 $v=\partial /\partial x_{j}$ 是坐標向量場則 $[u,v]=0$ 所以公式簡化為

R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w

也就是說曲率張量衡量協變導數的反交換性。

線性變換 $w\mapsto R(u,v)w$ 也稱曲率變換。

對稱性和恆等式

進一步,由上式定義了如下的三重線性映射

映射 $R$ 關於每一個自變量都是 $C^{\infty }$ 線性的, 故 $R$ 是 $M$ 上的 $(1,3)$ 型光滑張量場, 稱之為仿射聯絡空間 $(M,\nabla )$ 的曲率張量. 在坐標向量場下， $R$ 可以表示為

$R=R_{kij}^{l}dx^{k}\otimes {\frac {\partial }{\partial x^{l}}}\otimes dx^{i}\otimes dx^{j}.$

還可以定義四重線性映射，如下

則映射 $R$ 關於每一個自變量都是 $C^{\infty }$ 線性的, 故 $R$ 是黎曼流形 $(M,g)$ 上的 $(0,4)$ 型光滑張量場, 稱之為黎曼流形 $(M,g)$ 的黎曼曲率張量. 在坐標向量場下, $R$ 可以表示為

黎曼曲率張量有如下的對稱性:

最後一個恆等式由里奇發現,但是稱為第一比安基恆等式(First Bianchi identity)或代數比安基恆等式(Algebraic Bianchi identity)，因為和下面的比安基恆等式相像。

這三個恆等式組成曲率張量對稱性的完整列表，也就是給定說任何滿足上述恆等式的張量，可以找到一個黎曼流形在某點的曲率張量和它一樣。簡單的計算表明這樣一個張量有 $n^{2}(n^{2}-1)/12$ 個獨立分量。

另一個有用的恆等式可以由上面這些導出:

\langle R(u,v)w,z\rangle =\langle R(w,z)u,v\rangle _{}^{}

比安基恆等式(Bianchi identity)，經常也叫第二比安基恆等式(Second Bianchi identity)或微分比安基恆等式(Differential Bianchi identity)。它涉及到協變導數:

\nabla _{u}R(v,w)+\nabla _{v}R(w,u)+\nabla _{w}R(u,v)=0

給定流形某點的任一坐標表示，上述恆等式可以用黎曼曲率張量的分量形式表示為:

第二（微分）比安基恆等式： $\nabla _{e}R_{abcd}+\nabla _{d}R_{abec}+\nabla _{c}R_{abde}=0\,$ 或等價地寫為 $R_{ab[cd;e]}=0\,$

其中方括號表示對下標的反對稱化，分號表示協變導數。這些恆等式在物理中有應用，特別是廣義相對論。