魏爾施特拉斯分解定理(英語:Weierstrass factorization theorem)是指任意整函數
可以分解為如下無窮乘積的形式:
![{\displaystyle f(z)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3080c6207563d0e82cd48ff1c177161fdda9e7ff)
![{\displaystyle z^{m}e^{g(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb19ccb5ae3b4b136104654ddd8e2d8939f2b651)
![{\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d670edcde9837ac5a5c8b34e5ba72ee3c162fbe4)
![{\displaystyle (1-{\tfrac {z}{a_{n}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/857ae425357710f3725d616ef386ae619c720344)
![{\displaystyle e^{{\tfrac {z}{a_{n}}}+{\tfrac {1}{2}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{2}+{\tfrac {1}{3}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{3}+\cdots +{\tfrac {1}{h}}({\tfrac {z}{a_{n}}})^{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3a474416ceaa3a80165e47b57302023a69c2a38)
其中
是另一整函數,
是上述無窮乘積收斂的最小整數,稱為虧格。
是魏爾施特拉斯的基本因子。這種無窮乘積稱為典範乘積。求解
的方法一般是兩邊同時取對數再求導數,這樣右邊就可以化為無窮級數形式,通過對比無窮級數理論中的相關結果得出
的形式。
基本因子
英文為primary factors或是elementary factors。也有譯為「主要因子」的版本。[1]
對於任意的
,基本因子
的定義如下:[2]
其中,級數
。
對於級數
,有如下性質。以下性質在後續引理的證明中會用到(主要是3.、4.與5.)。
的情況下,
可被展開為
。接着兩邊同時積分,可得
。所以
的極限可以表示為
。
- 因為
,所以
。
- 如果將
與
之間的差額定義為新的級數
。
- 利用2.與3.改寫
的定義式:
。改寫後的基本因子定義式
將會在後續引理的證明中用到。
- 將3.的關係寫成級數形式:
。
利用以上性質,可以證明下面的重要引理。該引理在後續證明魏爾施特拉斯分解定理時有關鍵性作用。[2]
引理 (15.8, Rudin): 對於
,
成立。
證明:
時,
顯而易見。所以只討論
的情況。
i) 將引理左邊的部分(不帶絕對值)定義為一個新函數
。後續稱此式為式
。
運用性質4.與5.改寫式
:
將指數部分展開後可得(為了簡潔,係數用字母
表示):
整理後可得,
可以用一個新的級數來表示:
。將係數統一用
(如
)來標註的話,
。
將該結果微分,可得:
ii) 將式
直接微分,可得
將指數部分展開可得。
結論1:比較i)與ii)的結果。比較
項可知,
。同樣的方法比較後續項可知,
皆為正的實數。
iii) 基於
新設一個級數
。因為極點是一個可消極點,所以這也是一個整函數。計算
所以在給定的條件
下,運用絕對值不等式的基本性質和結論1:
即,
成立。引理(15.8)證明完畢。
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延伸閱讀
參考資料
- ^ Boas, R. P., Entire Functions, New York: Academic Press Inc., 1954, ISBN 0-8218-4505-5, OCLC 6487790 , chapter 2.
- ^ 2.0 2.1 Rudin, W., Real and Complex Analysis 3rd, Boston: McGraw Hill: 301–304, 1987, ISBN 0-07-054234-1, OCLC 13093736 .