雙極坐標系繪圖。圖中的紅色圓圈是
σ
{\displaystyle \sigma }
-等值曲線,藍色圓圈則是
τ
{\displaystyle \tau }
-等值曲線。
雙極圓柱坐標系 (英語:Bipolar cylindrical coordinates )是一種三維正交坐標系 。往 z-軸方向延伸二維的雙極坐標系 ,則可得到雙極圓柱坐標系。雙極坐標系的兩個焦點
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
,其直角坐標
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,\ y)}
分別設定為
(
−
a
,
0
)
{\displaystyle (-a,\ 0)}
與
(
a
,
0
)
{\displaystyle (a,\ 0)}
。延伸至三維空間,這兩個焦點分別變成兩條直線,
L
1
{\displaystyle L_{1}}
與
L
2
{\displaystyle L_{2}}
,稱為焦線 。
基本定義
雙極圓柱坐標
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
通常定義為
x
=
a
sinh
τ
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
、
y
=
a
sin
σ
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
、
z
=
z
{\displaystyle z=z}
;
其中,點
P
{\displaystyle P}
的
σ
{\displaystyle \sigma }
坐標等於
∠
F
1
P
F
2
{\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}
的弧度,
τ
{\displaystyle \tau }
坐標等於
d
1
=
F
1
P
{\displaystyle d_{1}=F_{1}P}
與
d
2
=
F
2
P
{\displaystyle d_{2}=F_{2}P}
的比例的自然對數
τ
=
ln
d
1
d
2
{\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
。
注意到焦線
F
1
{\displaystyle F_{1}}
與
F
2
{\displaystyle F_{2}}
的坐標分別為
x
=
−
a
{\displaystyle x=-a}
與
x
=
a
{\displaystyle x=a}
。
坐標曲面
雙極坐標的幾何詮釋。
F
1
P
¯
{\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}
與
F
2
P
¯
{\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}
的夾角
∠
F
1
P
F
2
{\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}
的弧度是
σ
{\displaystyle \sigma }
。
F
1
P
{\displaystyle F_{1}P}
與
F
2
P
{\displaystyle F_{2}P}
的比例的自然對數 是
τ
{\displaystyle \tau }
。
σ
{\displaystyle \sigma }
與
τ
{\displaystyle \tau }
的等值曲線都是圓圈,分別以紅色與藍色表示。兩條等值曲線以直角相交(以洋紅色表示)。
不同
σ
{\displaystyle \sigma }
的坐標曲面 是一組不同圓心線,而相交於兩個焦線
L
1
{\displaystyle L_{1}}
與
L
2
{\displaystyle L_{2}}
的圓柱面:
x
2
+
(
y
−
a
cot
σ
)
2
=
a
2
sin
2
σ
{\displaystyle x^{2}+(y-a\cot \sigma )^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}}
。
它們的圓心線都包含於 yz-平面。正值
σ
{\displaystyle \sigma }
的圓柱面的圓心線都在
y
>
0
{\displaystyle y>0}
半空間;而負值
σ
{\displaystyle \sigma }
的圓柱面的圓心線則在
y
<
0
{\displaystyle y<0}
半空間。當絕對值
|
σ
|
{\displaystyle \left|\sigma \right|}
增加時,圓半徑會減小,圓心線會靠近原點。當圓心線包含原點時,
|
σ
|
{\displaystyle \left|\sigma \right|}
達到最大值
π
/
2
{\displaystyle \pi /2}
。
不同
τ
{\displaystyle \tau }
的坐標曲面 是一組圍着焦線,互不相交,不同半徑的圓柱面。半徑為
y
2
+
(
x
−
a
coth
τ
)
2
=
a
2
sinh
2
τ
{\displaystyle y^{2}+\left(x-a\coth \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sinh ^{2}\tau }}}
。
它們的圓心線都包含於 xz-平面。正值
τ
{\displaystyle \tau }
的圓柱面在
x
>
0
{\displaystyle x>0}
半空間;而負值
τ
{\displaystyle \tau }
的圓柱面在
x
<
0
{\displaystyle x<0}
半空間。
τ
=
0
{\displaystyle \tau =0}
平面則與 yz-平面同平面。當
τ
{\displaystyle \tau }
值增加時,圓柱面的半徑會減少,圓心線會靠近焦點。
逆變換
雙極圓柱坐標
(
σ
,
τ
,
z
)
{\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}
可以用直角坐標
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle (x,\ y,\ z)}
來表示。點 P 與兩個焦線之間的距離是
d
1
2
=
(
x
+
a
)
2
+
y
2
{\displaystyle d_{1}^{2}=(x+a)^{2}+y^{2}}
、
d
2
2
=
(
x
−
a
)
2
+
y
2
{\displaystyle d_{2}^{2}=(x-a)^{2}+y^{2}}
。
τ
{\displaystyle \tau }
是
d
1
{\displaystyle d_{1}}
與
d
2
{\displaystyle d_{2}}
的比例的自然對數 :
τ
=
ln
d
1
d
2
{\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}
。
∠
F
1
P
F
2
{\displaystyle \angle F_{1}PF_{2}}
是兩條從點 P 到兩個焦點的線段
F
1
P
¯
{\displaystyle {\overline {F_{1}P}}}
與
F
2
P
¯
{\displaystyle {\overline {F_{2}P}}}
的夾角。這夾角的弧度是
σ
{\displaystyle \sigma }
。用餘弦定理 來計算:
cos
σ
=
d
1
2
+
d
2
2
−
4
a
2
2
d
1
d
2
{\displaystyle \cos \sigma ={\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}-4a^{2}}{2d_{1}d_{2}}}}
。
z-坐標的公式不變:
z
=
z
{\displaystyle z=z}
。
標度因子
雙極圓柱坐標
σ
{\displaystyle \sigma }
與
τ
{\displaystyle \tau }
的標度因子相等;而
z
{\displaystyle z}
的標度因子是 1 :
h
σ
=
h
τ
=
a
cosh
τ
−
cos
σ
{\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}
、
h
z
=
1
{\displaystyle h_{z}=1}
。
所以,無窮小體積元素等於
d
V
=
a
2
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
2
d
σ
d
τ
d
z
{\displaystyle dV={\frac {a^{2}}{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz}
。
拉普拉斯算子 是
∇
2
Φ
=
1
a
2
(
cosh
τ
−
cos
σ
)
2
(
∂
2
Φ
∂
σ
2
+
∂
2
Φ
∂
τ
2
)
+
∂
2
Φ
∂
z
2
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}
。
其它微分算子,例如
∇
⋅
F
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }
與
∇
×
F
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }
,都可以用雙極圓柱坐標表達,只需要將標度因子代入正交坐標系 的一般方程式內。
應用
雙極圓柱坐標有一個經典的應用,這是在解析像拉普拉斯方程 或亥姆霍茲方程 這類的偏微分方程式 。在這些方程式裏,雙極圓柱坐標允許分離變數法 的使用。一個典型的例題是,有兩個互相平行的圓柱導體 ,請問其周圍的電場 為什麼?應用雙極圓柱坐標,我們可以精緻地分析這例題。
參閱
參考文獻
Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 187–190.
Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 182. ASIN B0000CKZX7.
Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: unknown. ISBN 978-0387184302 .