超交換代數

數學中，超交換（結合）代數是超代數（即Z₂-分次代數），使任意兩個均質元素x、y都有

$yx=(-1)^{|x||y|}xy,$

其中|x|表示元素的次，根據次數是奇是偶，分別是0或1（Z₂）。

等價地，若超交換子

$[x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx$

恆等於零，則形成超代數。滿足上述超交換的代數結構有時稱作skew-交換結合代數以強調其反交換性，或分次交換以強調其分次，若理解其超交換性則只是交換性。

賦予了平凡分次（即所有元素都為偶）的交換代數都是超交換代數。外代數是最常見的非平凡超交換代數。超代數的超中心指與所有元素超交換的元素集合，也是超交換代數。

超交換代數的偶子代數是交換代數，即偶元素必交換。奇元素則必反交換，即對於奇的x、y有

$xy+yx=0\,$

特別地，任何奇元素x的平方都為0，無論2是否可逆：

$x^{2}=0.$

因此，交換超代數（2可逆、非零度單成分）總包含冪零元。

Z-分次反交換代數具有性質：對每個次為奇的x，都有x² = 0（無論2是否可逆），稱作交替代數 。

另見

• 分次交換環
• 李超代數