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等邊圖形

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幾何學中,等邊或稱邊可遞是指所有都相等的幾何圖形,同時其對稱性可以在其邊上遞移。通俗地說,這意味着這個幾何結構中只有一種類型的邊,同時在這個立體上任選兩個邊,並透過平移、旋轉或鏡射等變換將一邊變換到另一個邊的位置時,其仍佔有相同的空間區域。

邊可遞多邊形

邊可遞多邊形是偶數邊數的等邊多邊形。並非所有等邊多邊形都是邊可遞多邊形。邊可遞多邊形的對偶多邊形是等角多邊形。[1]

通常邊可遞2n邊形具有Dn (*nn)的二面體群對稱性。[2]例如菱形是一種邊可遞多邊形,並具備D2 (*22)的二面體群對稱性。[2]所有正多邊形都是邊可遞多邊形[3]:48,並具有2倍的最小對稱性階數:正n邊形具有Dn (*nn)的二面體群對稱性。

邊可遞2n邊形可以用符號{nα}來表示,其中α代表最外側的內角。第二外側的內角β可能大於或小於180度。星形多邊形也可以是邊可遞多邊形,其可以用符號{(n/q)α}來表示,其中q<n-1且n和q互質gcd(n,q)=1),而q代表轉數英語turning number密度英語Density (polygon)[4]

邊可遞多邊形和複合圖形的範例
邊數 (2n 4 6 8 10 12 14 16
{nα}
凸 β<180
凹 β>180

{2α}

{3α}

{4α}

{5α}

{6α}

{7α}

{8α}
2轉英語turning number
{(n/2)α}
--
{(3/2)α}

2{2α}

{(5/2)α}

2{3α}

{(7/2)α}

2{4α}
3轉
{(n/3)α}
-- --
{(4/3)α}

{(5/3)α}

3{2α}

{(7/3)α}

{(8/3)α}
4轉
{(n/4)α}
-- -- --
{(5/4)α}

2{(3/2)α}

{(7/4)α}

4{2α}
5轉
{(n/5)α}
-- -- -- --
{(6/5)α}

{(7/5)α}

{(8/5)α}
6轉
{(n/6)α}
-- -- -- -- --
{(7/6)α}

2{(4/3)α}
7轉
{(n/7)α}
-- -- -- -- -- --
{(8/7)α}

邊可遞多面體與鑲嵌

所有正多面體都具備等面(面可遞)、等邊(邊可遞)和等角(點可遞)的特性[5]

擬正多面體或擬正鑲嵌圖,例如截半立方體截半二十面體,其同時具備了等角(點可遞)與等邊(邊可遞)的特性,但不具備等面(面可遞)的特性。[6][7]其對偶多面體,如菱形十二面體菱形三十面體具備等面等邊的特性,而不具備等角的特性。

範例
擬正
多面體
對偶擬正
多面體
擬正
星形多面體
對偶擬正
星形多面體
擬正
鑲嵌圖
對偶擬正
鑲嵌圖

截半立方體具備等角等邊的特性

菱形十二面體具備等面等邊的特性

大截半二十面體為具備等角等邊特性的星形多面體

大菱形三十面體為具備等面等邊特性的星形多面體

截半六邊形鑲嵌為具備等角等邊特性的鑲嵌圖

菱形鑲嵌為具備等面等邊特性的鑲嵌圖

並非所有由正多邊形組成的多面體或鑲嵌都是邊可遞的,就算他所有邊都等長,也可能因為邊的相鄰面不同(稜的組成不同)而導致其不滿足邊可遞的特性。例如截角二十面體足球的形狀)就不滿足邊可遞的特性,因為它具有兩種類型的邊:六邊形-六邊形公共邊和六邊形-五邊形公共邊,並且立體的對稱性不允許將六邊形-六邊形邊移動到六邊形-五邊形邊。

邊可遞多面體所有稜的二面角皆相等。

凸多面體的對偶多面體仍為凸多面體[8];非凸多面體的對偶多面體也仍為非凸多面體[8];邊可遞多面體的對偶多面體亦仍為邊可遞多面體。

參見

參考文獻

  1. ^ Guy, R.K. and Woodrow, R.E. The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugene Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and Its History. Spectrum. Mathematical Association of America. 2020. ISBN 9781470457310. 
  2. ^ 2.0 2.1 M Koca and N O Koca. Quasi Regular Polyhedra and Their Duals with Coxeter Symmetries Represented by Quaternions I. Journal of Physics: Conference Series (IOP Publishing). 2011-04, 284: 012039. doi:10.1088/1742-6596/284/1/012039. 
  3. ^ Bisztriczky, T. and McMullen, P. and Schneider, R. and Weiss, A.I. Polytopes: Abstract, Convex and Computational. Nato Science Series C:. Springer Netherlands. 2012 [2022-07-10]. ISBN 9789401109246. (原始內容存檔於2022-07-14). 
  4. ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns需要免費註冊. W. H. Freeman. 1987. ISBN 978-0-7167-1193-3.  2.5 Tilings using star polygons, pp.82-85.
  5. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822 .
  6. ^ Weisstein, Eric W. (編). Quasiregular Polyhedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語). 
  7. ^ George W. Hart. Quasiregular polyhedra. [2022-07-11]. (原始內容存檔於2013-05-24). 
  8. ^ 8.0 8.1 duality. maths.ac-noumea.nc. [2020-09-30]. (原始內容存檔於2021-05-08).