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積分變換

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積分變換(integral transform)是數學中作用於函數的算子,用以處理微分方程等問題。常見的有傅里葉變換拉普拉斯變換等。

概述

以一變數函數 為例, 經過一積分轉換 得到

其中 是個確定的二元函數, 稱為此積分變換的核函數(kernel function)或(nucleus)。當選取不同的積分域和變換核時,就得到不同名稱的積分變換。 稱為象原函數, 稱為 的象函數,在一定條件下,它們是一一對應而變換是可逆的。

有些積分變換有相對應的反積分變換(inverse transform),使得

稱為反核(inverse kernel)。

積分變換表

積分變換 符號 核K f(t) t1 t2 反核K−1 u1 u2
阿貝爾積分變換英語Abel transform F, f u [1] t
相關 Legendre 變換(Associated Legendre transform)
傅里葉變換
傅里葉正弦變換 on , real-valued
傅里葉餘弦變換 on , real-valued 0 0
漢克爾變換 0 0
Hartley變換英語Hartley transform
Hermite變換英語Hermite_transform
希爾伯特變換
Jacobi變換英語Jacobi_transform
Laguerre變換英語Laguerre_transform
拉普拉斯變換 e−ut 0
Legendre變換英語Legendre_transform_(integral_transform)
梅林變換 tu−1 0 [2]
雙邊拉普拉斯變換 e−ut
泊松核英語Poisson kernel 0
拉東變換
魏爾斯特拉斯變換英語Weierstrass transform
X-ray變換英語X-ray_transform
狄拉克δ函數

在反積分轉換中, 常數c 由積分函數決定。

參見

  1. ^ Assuming the Abel transform is not discontinuous at .
  2. ^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.